Để giải phương trình \( x + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 9}} = 6\sqrt{2} \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Điều kiện xác định**:
\[
x^2 - 9 > 0 \implies x^2 > 9 \implies x > 3 \text{ hoặc } x < -3
\]

2. **Giả sử \( x > 3 \)** (vì \( x < -3 \) sẽ dẫn đến giá trị âm, không phù hợp với điều kiện của căn bậc hai):
\[
x + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 9}} = 6\sqrt{2}
\]

3. **Đặt \( t = \sqrt{x^2 - 9} \)**:
\[
t > 0 \implies t = \sqrt{x^2 - 9}
\]
Khi đó, \( t^2 = x^2 - 9 \) và \( x^2 = t^2 + 9 \).

4. **Thay \( x \) bằng \( \sqrt{t^2 + 9} \)** trong phương trình ban đầu:
\[
\sqrt{t^2 + 9} + \frac{\sqrt{t^2 + 9}}{t} = 6\sqrt{2}
\]

5. **Đặt \( y = \sqrt{t^2 + 9} \)**:
\[
y + \frac{y}{t} = 6\sqrt{2}
\]
\[
t = \sqrt{y^2 - 9}
\]
\[
y + \frac{y}{\sqrt{y^2 - 9}} = 6\sqrt{2}
\]

6. **Giải phương trình này**:
\[
y + \frac{y}{\sqrt{y^2 - 9}} = 6\sqrt{2}
\]
Đặt \( k = \sqrt{y^2 - 9} \), ta có:
\[
y + \frac{y}{k} = 6\sqrt{2}
\]
\[
yk + y = 6k\sqrt{2}
\]
\[
y(k + 1) = 6k\sqrt{2}
\]
\[
y = \frac{6k\sqrt{2}}{k + 1}
\]

7. **Thay \( y \) vào \( y = \sqrt{t^2 + 9} \)**:
\[
\sqrt{t^2 + 9} = \frac{6k\sqrt{2}}{k + 1}
\]

8. **Tìm \( k \)**:
\[
t = \sqrt{y^2 - 9}
\]
\[
t = \sqrt{\left(\frac{6k\sqrt{2}}{k + 1}\right)^2 - 9}
\]

9. **Giải phương trình này**:
\[
t = \sqrt{\left(\frac{6k\sqrt{2}}{k + 1}\right)^2 - 9}
\]

10. **Thay lại \( t \) và \( y \) để tìm \( x \)**:
\[
x = \sqrt{t^2 + 9}
\]

Do phương trình này khá phức tạp, ta có thể kiểm tra lại các giá trị \( x \) để tìm nghiệm phù hợp. Tuy nhiên, một cách tiếp cận đơn giản hơn là thử các giá trị \( x \) thỏa mãn điều kiện ban đầu \( x > 3 \).

**Thử nghiệm với \( x = 6 \)**:
\[
x + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 9}} = 6 + \frac{6}{\sqrt{36 - 9}} = 6 + \frac{6}{\sqrt{27}} = 6 + \frac{6}{3\sqrt{3}} = 6 + \frac{2}{\sqrt{3}} = 6 + 2\sqrt{3}
\]

Vì \( 6 + 2\sqrt{3} \neq 6\sqrt{2} \), nên \( x = 6 \) không phải nghiệm.

**Thử nghiệm với \( x = 3\sqrt{2} \)**:
\[
x + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 9}} = 3\sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{(3\sqrt{2})^2 - 9}} = 3\sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{18 - 9}} = 3\sqrt{2} + \frac{3\sqrt{2}}{3} = 3\sqrt{2} + \sqrt{2} = 6\sqrt{2}
\]

Vậy \( x = 3\sqrt{2} \) là nghiệm của phương trình.

**Kết luận**:
\[
x = 3\sqrt{2}
\]