Để rút gọn các biểu thức đã cho, ta sẽ thực hiện các phép biến đổi đại số cần thiết.

**Biểu thức b:**
\[ \left(\frac{1}{4}x - y\right) \left(x^2 + 4xy + 16y^2\right) + 4 \left(4y^3 - \frac{1}{16}x^3 + 1\right) \]

1. Phân tích biểu thức:
\[ \left(\frac{1}{4}x - y\right) \left(x^2 + 4xy + 16y^2\right) \]
\[ + 4 \left(4y^3 - \frac{1}{16}x^3 + 1\right) \]

2. Nhân phân phối:
\[ \left(\frac{1}{4}x - y\right) \left(x^2 + 4xy + 16y^2\right) = \frac{1}{4}x \cdot x^2 + \frac{1}{4}x \cdot 4xy + \frac{1}{4}x \cdot 16y^2 - y \cdot x^2 - y \cdot 4xy - y \cdot 16y^2 \]
\[ = \frac{1}{4}x^3 + x^2y + 4xy^2 - x^2y - 4xy^2 - 16y^3 \]
\[ = \frac{1}{4}x^3 - 16y^3 \]

3. Nhân phân phối phần còn lại:
\[ 4 \left(4y^3 - \frac{1}{16}x^3 + 1\right) = 16y^3 - \frac{1}{4}x^3 + 4 \]

4. Cộng hai biểu thức lại:
\[ \left(\frac{1}{4}x^3 - 16y^3\right) + \left(16y^3 - \frac{1}{4}x^3 + 4\right) \]
\[ = \frac{1}{4}x^3 - 16y^3 + 16y^3 - \frac{1}{4}x^3 + 4 \]
\[ = 4 \]

Vậy biểu thức b rút gọn là:
\[ 4 \]

**Biểu thức d:**
\[ (x - 2)^2 + (x - 1)(x^2 + x + 1) - x(x - 2)(x + 2) \]

1. Phân tích biểu thức:
\[ (x - 2)^2 + (x - 1)(x^2 + x + 1) - x(x - 2)(x + 2) \]

2. Khai triển các biểu thức:
\[ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \]
\[ (x - 1)(x^2 + x + 1) = x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1 = x^3 - 1 \]
\[ x(x - 2)(x + 2) = x(x^2 - 4) = x^3 - 4x \]

3. Cộng các biểu thức lại:
\[ (x^2 - 4x + 4) + (x^3 - 1) - (x^3 - 4x) \]
\[ = x^2 - 4x + 4 + x^3 - 1 - x^3 + 4x \]
\[ = x^2 + 3 \]

Vậy biểu thức d rút gọn là:
\[ x^2 + 3 \]