Để tìm giá trị của \( x \) thỏa mãn phương trình:

\[
\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} + \frac{3}{x-3} = \frac{6}{x-6}
\]

Chúng ta sẽ tìm mẫu số chung của các phân số trong phương trình này. Mẫu số chung là tích của các mẫu số riêng lẻ:

\[
(x-1)(x-2)(x-3)(x-6)
\]

Nhân cả hai vế của phương trình với mẫu số chung này để loại bỏ các mẫu số:

\[
\frac{(x-1)(x-2)(x-3)(x-6)}{x-1} + \frac{2(x-1)(x-2)(x-3)(x-6)}{x-2} + \frac{3(x-1)(x-2)(x-3)(x-6)}{x-3} = \frac{6(x-1)(x-2)(x-3)(x-6)}{x-6}
\]

Rút gọn các phân số:

\[
(x-2)(x-3)(x-6) + 2(x-1)(x-3)(x-6) + 3(x-1)(x-2)(x-6) = 6(x-1)(x-2)(x-3)
\]

Mở rộng và rút gọn các biểu thức:

\[
(x^2 - 5x + 6)(x-6) + 2(x^2 - 4x + 3)(x-6) + 3(x^2 - 3x + 2)(x-6) = 6(x^2 - 6x + 11)
\]

Tiếp tục mở rộng và rút gọn:

\[
(x^3 - 11x^2 + 30x - 36) + 2(x^3 - 10x^2 + 27x - 18) + 3(x^3 - 9x^2 + 20x - 12) = 6(x^3 - 9x^2 + 20x - 12)
\]

Kết hợp các hệ số:

\[
x^3 - 11x^2 + 30x - 36 + 2x^3 - 20x^2 + 54x - 36 + 3x^3 - 27x^2 + 60x - 36 = 6x^3 - 54x^2 + 120x - 72
\]

Rút gọn:

\[
6x^3 - 58x^2 + 144x - 108 = 6x^3 - 54x^2 + 120x - 72
\]

Chuyển các hạng tử về một vế:

\[
6x^3 - 58x^2 + 144x - 108 - 6x^3 + 54x^2 - 120x + 72 = 0
\]

Rút gọn:

\[
-4x^2 + 24x - 36 = 0
\]

Chia cả hai vế cho -4:

\[
x^2 - 6x + 9 = 0
\]

Phương trình này có thể được viết lại dưới dạng:

\[
(x-3)^2 = 0
\]

Vậy:

\[
x = 3
\]

Giá trị của \( x \) là \( 3 \).