Giải phương trình:

Để giải phương trình \( x + \frac{3x}{\sqrt{x^2 - 9}} = 6\sqrt{2} \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Điều kiện xác định:**
\[
x^2 - 9 > 0 \implies x^2 > 9 \implies x > 3 \text{ hoặc } x < -3
\]

2. **Biến đổi phương trình:**
\[
x + \frac{3x}{\sqrt{x^2 - 9}} = 6\sqrt{2}
\]

Đặt \( t = \sqrt{x^2 - 9} \), ta có:
\[
t^2 = x^2 - 9 \implies x^2 = t^2 + 9
\]

Khi đó, phương trình trở thành:
\[
x + \frac{3x}{t} = 6\sqrt{2}
\]

3. **Biến đổi tiếp:**
\[
x + \frac{3x}{t} = 6\sqrt{2}
\]
\[
x \left(1 + \frac{3}{t}\right) = 6\sqrt{2}
\]

Đặt \( k = 1 + \frac{3}{t} \), ta có:
\[
xk = 6\sqrt{2} \implies x = \frac{6\sqrt{2}}{k}
\]

4. **Thay \( x \) vào biểu thức \( t \):**
\[
t = \sqrt{x^2 - 9} = \sqrt{\left(\frac{6\sqrt{2}}{k}\right)^2 - 9}
\]
\[
t = \sqrt{\frac{72}{k^2} - 9}
\]

5. **Giải phương trình:**
\[
k = 1 + \frac{3}{t}
\]
\[
t = \sqrt{\frac{72}{k^2} - 9}
\]

Ta cần giải hệ phương trình này để tìm \( k \) và \( t \).

6. **Thử nghiệm giá trị:**
Để đơn giản hóa, ta thử nghiệm các giá trị \( k \) và kiểm tra tính hợp lý.

Giả sử \( k = 3 \):
\[
x = \frac{6\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{2}
\]
\[
t = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 - 9} = \sqrt{8 - 9} = \sqrt{-1} \text{ (không hợp lý)}
\]

Giả sử \( k = 2 \):
\[
x = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}
\]
\[
t = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 - 9} = \sqrt{18 - 9} = \sqrt{9} = 3
\]

Khi đó:
\[
k = 1 + \frac{3}{3} = 2
\]

Vậy \( x = 3\sqrt{2} \) là nghiệm của phương trình.

**Kết luận:**
Nghiệm của phương trình là \( x = 3\sqrt{2} \).