Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các đường phân giác, đường cao, và đường song song.

1. **Tính độ dài các đoạn AE và EC:**

Ta có tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường phân giác \(AD\) và đường cao \(AH\). Biết \(BD = 7.5\) và \(DC = 5\). Ta cần tính \(AE\) và \(EC\) khi \(AC = 10\) cm.

Đầu tiên, ta tính độ dài \(BC\):
\[ BC = BD + DC = 7.5 + 5 = 12.5 \text{ cm} \]

Do \(AD\) là đường phân giác của tam giác \(ABC\), ta có:
\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]
\[ \frac{7.5}{5} = \frac{AB}{10} \]
\[ \frac{3}{2} = \frac{AB}{10} \]
\[ AB = 10 \times \frac{3}{2} = 15 \text{ cm} \]

Vì \(D\) là điểm trên \(BC\) và \(DE \parallel AB\), ta có:
\[ \frac{AE}{EC} = \frac{AD}{DC} \]

Ta biết \(AD\) là đường phân giác trong tam giác vuông \(ABC\), nên ta có thể sử dụng định lý đường phân giác trong tam giác vuông:
\[ AD = \frac{2 \times AB \times AC}{AB + AC} \]
\[ AD = \frac{2 \times 15 \times 10}{15 + 10} = \frac{300}{25} = 12 \text{ cm} \]

Vì \(DE \parallel AB\), tam giác \(ADE\) đồng dạng với tam giác \(ABC\). Do đó:
\[ \frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB} \]
\[ \frac{AE}{10} = \frac{12}{15} \]
\[ AE = 10 \times \frac{12}{15} = 8 \text{ cm} \]

Vậy \(EC\) là:
\[ EC = AC - AE = 10 - 8 = 2 \text{ cm} \]

2. **Tính độ dài \(DE\):**

Do \(DE \parallel AB\), tam giác \(ADE\) đồng dạng với tam giác \(ABC\), nên:
\[ \frac{DE}{AB} = \frac{AD}{AC} \]
\[ \frac{DE}{15} = \frac{12}{10} \]
\[ DE = 15 \times \frac{12}{10} = 18 \text{ cm} \]

Tóm lại, các độ dài cần tìm là:
- \(AE = 8 \text{ cm}\)
- \(EC = 2 \text{ cm}\)
- \(DE = 18 \text{ cm}\)