Để giải phương trình sau:

\[ \frac{1}{x+2} - \frac{2}{x^2 - 2x + 4} = \frac{x - 4}{x^3 + 8} \]

Trước hết, chúng ta cần phân tích các mẫu số để tìm mẫu số chung.

1. Phân tích các mẫu số:
- \( x + 2 \)
- \( x^2 - 2x + 4 \)
- \( x^3 + 8 \)

Nhận thấy rằng:
\[ x^2 - 2x + 4 = (x - 1)^2 + 3 \]
\[ x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) \]

Vậy mẫu số chung là \( x^3 + 8 \).

2. Quy đồng các phân số:
\[ \frac{1}{x+2} = \frac{1 \cdot (x^2 - 2x + 4)}{(x+2)(x^2 - 2x + 4)} = \frac{x^2 - 2x + 4}{x^3 + 8} \]
\[ \frac{2}{x^2 - 2x + 4} = \frac{2 \cdot (x+2)}{(x^2 - 2x + 4)(x+2)} = \frac{2(x+2)}{x^3 + 8} \]

3. Thay vào phương trình ban đầu:
\[ \frac{x^2 - 2x + 4}{x^3 + 8} - \frac{2(x + 2)}{x^3 + 8} = \frac{x - 4}{x^3 + 8} \]

4. Gộp các phân số lại:
\[ \frac{x^2 - 2x + 4 - 2(x + 2)}{x^3 + 8} = \frac{x - 4}{x^3 + 8} \]

5. Đơn giản hóa tử số:
\[ x^2 - 2x + 4 - 2x - 4 = x^2 - 4x \]

Vậy phương trình trở thành:
\[ \frac{x^2 - 4x}{x^3 + 8} = \frac{x - 4}{x^3 + 8} \]

6. Vì mẫu số đã giống nhau, ta có thể so sánh tử số:
\[ x^2 - 4x = x - 4 \]

7. Giải phương trình bậc hai:
\[ x^2 - 4x - x + 4 = 0 \]
\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]

8. Phân tích phương trình bậc hai:
\[ (x - 4)(x - 1) = 0 \]

Vậy nghiệm của phương trình là:
\[ x = 4 \]
\[ x = 1 \]

Tuy nhiên, cần kiểm tra lại các nghiệm này có thỏa mãn điều kiện của phương trình ban đầu hay không (không làm mẫu số bằng 0).

- Với \( x = 4 \):
- \( x + 2 = 6 \neq 0 \)
- \( x^2 - 2x + 4 = 16 - 8 + 4 = 12 \neq 0 \)
- \( x^3 + 8 = 64 + 8 = 72 \neq 0 \)

- Với \( x = 1 \):
- \( x + 2 = 3 \neq 0 \)
- \( x^2 - 2x + 4 = 1 - 2 + 4 = 3 \neq 0 \)
- \( x^3 + 8 = 1 + 8 = 9 \neq 0 \)

Vậy cả hai nghiệm \( x = 4 \) và \( x = 1 \) đều thỏa mãn điều kiện của phương trình ban đầu.

Kết luận: Nghiệm của phương trình là \( x = 4 \) và \( x = 1 \).