Để giải bài toán này, ta sẽ lập hệ phương trình dựa trên các thông tin đã cho.

Gọi \( x \) là thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể (giờ), và \( y \) là thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể (giờ).

1. **Thông tin thứ nhất: Hai vòi cùng chảy vào bể sau 12 giờ thì đầy.**

Điều này có nghĩa là trong 1 giờ, hai vòi cùng chảy được \(\frac{1}{12}\) bể. Do đó, ta có phương trình:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}
\]

2. **Thông tin thứ hai: Hai vòi cùng chảy trong 4 giờ rồi vòi thứ nhất nghỉ và vòi thứ hai chảy trong 10 giờ thì đầy bể.**

Trong 4 giờ, hai vòi cùng chảy được \(\frac{4}{x} + \frac{4}{y}\) bể.

Sau đó, vòi thứ hai chảy thêm 10 giờ, tức là chảy được \(\frac{10}{y}\) bể.

Tổng lượng nước mà hai vòi chảy vào bể là:
\[
\frac{4}{x} + \frac{4}{y} + \frac{10}{y} = 1
\]
Tương đương với:
\[
\frac{4}{x} + \frac{14}{y} = 1
\]

Bây giờ ta có hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\
\frac{4}{x} + \frac{14}{y} = 1
\end{cases}
\]

Giải hệ phương trình này:

Từ phương trình thứ nhất, ta có:
\[
\frac{1}{x} = \frac{1}{12} - \frac{1}{y}
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
4\left(\frac{1}{12} - \frac{1}{y}\right) + \frac{14}{y} = 1
\]
\[
\frac{4}{12} - \frac{4}{y} + \frac{14}{y} = 1
\]
\[
\frac{1}{3} + \frac{10}{y} = 1
\]
\[
\frac{10}{y} = 1 - \frac{1}{3}
\]
\[
\frac{10}{y} = \frac{2}{3}
\]
\[
y = \frac{10 \times 3}{2} = 15
\]

Vậy \( y = 15 \).

Thay \( y = 15 \) vào phương trình thứ nhất:
\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{15} = \frac{1}{12}
\]
\[
\frac{1}{x} = \frac{1}{12} - \frac{1}{15}
\]
\[
\frac{1}{x} = \frac{5 - 4}{60} = \frac{1}{60}
\]
\[
x = 60
\]

Vậy thời gian để mỗi vòi chảy một mình đầy bể là:
- Vòi thứ nhất: 60 giờ
- Vòi thứ hai: 15 giờ