Để giải bài toán này, ta sẽ lập hệ phương trình dựa trên các thông tin đã cho.

Gọi $x$ là thời gian để vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể (giờ), và $y$ là thời gian để vòi thứ hai chảy một mình đầy bể (giờ).

1. **Thông tin thứ nhất: Hai vòi cùng chảy vào bể sau 12 giờ thì đầy.**

Điều này có nghĩa là trong 1 giờ, hai vòi cùng chảy được $\frac{1}{12}$ bể. Do đó, ta có phương trình:
$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$$

2. **Thông tin thứ hai: Hai vòi cùng chảy trong 4 giờ rồi vòi thứ nhất nghỉ và vòi thứ hai chảy trong 10 giờ thì đầy bể.**

Trong 4 giờ, hai vòi cùng chảy được $\frac{4}{x} + \frac{4}{y}$ bể.

Sau đó, vòi thứ hai chảy thêm 10 giờ, tức là chảy được $\frac{10}{y}$ bể.

Tổng lượng nước mà hai vòi chảy vào bể là:
$$\frac{4}{x} + \frac{4}{y} + \frac{10}{y} = 1$$
Tương đương với:
$$\frac{4}{x} + \frac{14}{y} = 1$$

Bây giờ ta có hệ phương trình:
$$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\ \frac{4}{x} + \frac{14}{y} = 1 \end{cases}$$

Giải hệ phương trình này:

Từ phương trình thứ nhất, ta có:
$$\frac{1}{x} = \frac{1}{12} - \frac{1}{y}$$

Thay vào phương trình thứ hai:
$$4\left(\frac{1}{12} - \frac{1}{y}\right) + \frac{14}{y} = 1$$
$$\frac{4}{12} - \frac{4}{y} + \frac{14}{y} = 1$$
$$\frac{1}{3} + \frac{10}{y} = 1$$
$$\frac{10}{y} = 1 - \frac{1}{3}$$
$$\frac{10}{y} = \frac{2}{3}$$
$$y = \frac{10 \times 3}{2} = 15$$

Vậy $y = 15$.

Thay $y = 15$ vào phương trình thứ nhất:
$$\frac{1}{x} + \frac{1}{15} = \frac{1}{12}$$
$$\frac{1}{x} = \frac{1}{12} - \frac{1}{15}$$
$$\frac{1}{x} = \frac{5 - 4}{60} = \frac{1}{60}$$
$$x = 60$$

Vậy thời gian để mỗi vòi chảy một mình đầy bể là:
- Vòi thứ nhất: 60 giờ
- Vòi thứ hai: 15 giờ