Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần:

### a) Chứng minh \( AE = BD \)

Vì \( \triangle ACD \) và \( \triangle BCE \) đều là tam giác đều, nên các cạnh của chúng đều bằng nhau.

- Trong tam giác đều \( \triangle ACD \), ta có \( AC = CD = AD \).
- Trong tam giác đều \( \triangle BCE \), ta có \( BC = CE = BE \).

Do \( C \) nằm giữa \( A \) và \( B \), ta có:
\[ AB = AC + CB \]

Vì \( AC = CD \) và \( BC = CE \), ta có:
\[ AE = AD + DE = AD + CE \]

Do \( AD = AC \) và \( CE = BC \), ta có:
\[ AE = AC + BC = AB \]

Tương tự, ta có:
\[ BD = BC + CD = AB \]

Vậy, \( AE = BD \).

### b) Tính góc \( \angle AIB \)

Gọi \( I \) là giao điểm của \( AE \) và \( BD \).

Vì \( \triangle ACD \) và \( \triangle BCE \) đều là tam giác đều, các góc nội tại của chúng đều là \( 60^\circ \).

Xét tam giác \( \triangle AIB \):
- \( \angle CAD = 60^\circ \)
- \( \angle CBE = 60^\circ \)

Do đó, \( \angle AIB \) là góc giữa hai đường thẳng \( AE \) và \( BD \), mỗi đường thẳng này tạo với đường thẳng \( AB \) một góc \( 60^\circ \).

Vậy, \( \angle AIB = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \).

### c) Chứng minh tam giác \( MNC \) là tam giác đều

Gọi \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( AE \) và \( BD \).

Vì \( AE = BD \) và \( M \), \( N \) là trung điểm của \( AE \) và \( BD \), nên:
\[ AM = ME = \frac{AE}{2} \]
\[ BN = ND = \frac{BD}{2} \]

Do \( AE = BD \), ta có:
\[ AM = BN \]

Xét tam giác \( \triangle MNC \):
- \( M \) là trung điểm của \( AE \), nên \( M \) nằm trên đường trung trực của \( AE \).
- \( N \) là trung điểm của \( BD \), nên \( N \) nằm trên đường trung trực của \( BD \).

Vì \( AE \) và \( BD \) là hai đoạn thẳng bằng nhau và giao nhau tại \( I \) với góc \( \angle AIB = 60^\circ \), tam giác \( \triangle MNC \) có các cạnh bằng nhau và các góc bằng \( 60^\circ \).

Do đó, tam giác \( \triangle MNC \) là tam giác đều.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.