Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước sau:

### a) Tính đường cao AH, số đo góc B và C

1. **Tính đường cao AH**:
Sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác ABC:
\[
S = \sqrt{p(p - AB)(p - AC)(p - BC)}
\]
với \( p \) là nửa chu vi tam giác:
\[
p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{24 + 18 + 30}{2} = 36 \text{ cm}
\]
Diện tích tam giác ABC:
\[
S = \sqrt{36(36 - 24)(36 - 18)(36 - 30)} = \sqrt{36 \times 12 \times 18 \times 6} = \sqrt{46656} = 216 \text{ cm}^2
\]
Đường cao AH từ đỉnh A xuống cạnh BC:
\[
AH = \frac{2S}{BC} = \frac{2 \times 216}{30} = 14.4 \text{ cm}
\]

2. **Tính số đo góc B và C**:
Sử dụng định lý cosin:
\[
\cos B = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{18^2 + 30^2 - 24^2}{2 \cdot 18 \cdot 30} = \frac{324 + 900 - 576}{1080} = \frac{648}{1080} = 0.6
\]
\[
B = \arccos(0.6) \approx 53.13^\circ
\]

\[
\cos C = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{24^2 + 30^2 - 18^2}{2 \cdot 24 \cdot 30} = \frac{576 + 900 - 324}{1440} = \frac{1152}{1440} = 0.8
\]
\[
C = \arccos(0.8) \approx 36.87^\circ
\]

### b) Phân giác của góc A cắt BC tại D. Tính BD, CD

Sử dụng định lý phân giác trong tam giác:
\[
\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}
\]
Gọi BD = 4x và CD = 3x, ta có:
\[
BD + CD = BC \Rightarrow 4x + 3x = 30 \Rightarrow 7x = 30 \Rightarrow x = \frac{30}{7}
\]
\[
BD = 4x = 4 \times \frac{30}{7} = \frac{120}{7} \approx 17.14 \text{ cm}
\]
\[
CD = 3x = 3 \times \frac{30}{7} = \frac{90}{7} \approx 12.86 \text{ cm}
\]

### c) Tứ giác AEDF là hình gì? Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF

1. **Tứ giác AEDF là hình gì?**:
Tứ giác AEDF có DE và DF vuông góc với AB và AC, nên AEDF là hình chữ nhật.

2. **Tính chu vi và diện tích tứ giác AEDF**:
- Chu vi hình chữ nhật AEDF:
\[
Chu vi = 2(DE + DF)
\]
DE và DF là các đoạn vuông góc từ D đến AB và AC, nên DE = DF = AH = 14.4 cm.
\[
Chu vi = 2(14.4 + 14.4) = 57.6 \text{ cm}
\]

- Diện tích hình chữ nhật AEDF:
\[
Diện tích = DE \times DF = 14.4 \times 14.4 = 207.36 \text{ cm}^2
\]

Vậy, ta đã tính được các giá trị cần thiết cho bài toán.