Để chứng minh tứ giác \(BEDC\) là hình thang cân và \(BE = DE\), ta làm theo các bước sau:

**Bước 1: Chứng minh tứ giác \(BEDC\) là hình thang.**

- Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\).
- Gọi \(D\) là giao điểm của đường phân giác \(BD\) với \(AC\), và \(E\) là giao điểm của đường phân giác \(CE\) với \(AB\).

Do \(BD\) và \(CE\) là các đường phân giác của tam giác \(ABC\), ta có:
\[ \angle ABD = \angle DBC \]
\[ \angle ACE = \angle ECB \]

- Xét hai tam giác \(ABD\) và \(ACD\):
- \(AB = AC\) (giả thiết tam giác cân tại \(A\))
- \(\angle ABD = \angle ACD\) (do \(BD\) là đường phân giác)
- \(AD\) là cạnh chung

Do đó, hai tam giác \(ABD\) và \(ACD\) bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (SAS), suy ra:
\[ BD = CD \]

- Tương tự, xét hai tam giác \(ABE\) và \(ACE\):
- \(AB = AC\) (giả thiết tam giác cân tại \(A\))
- \(\angle ABE = \angle ACE\) (do \(CE\) là đường phân giác)
- \(AE\) là cạnh chung

Do đó, hai tam giác \(ABE\) và \(ACE\) bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (SAS), suy ra:
\[ BE = CE \]

- Do \(BD\) và \(CE\) là các đường phân giác của tam giác cân \(ABC\), ta có:
\[ \angle BDE = \angle CED \]

- Từ đó, ta có:
\[ \angle BDE + \angle CED = 180^\circ \]

Điều này chứng tỏ rằng \(BEDC\) là một tứ giác nội tiếp đường tròn, và do đó \(BEDC\) là hình thang.

**Bước 2: Chứng minh tứ giác \(BEDC\) là hình thang cân.**

- Ta đã có \(BD = CD\) và \(BE = CE\).
- Xét hai tam giác \(BDE\) và \(CDE\):
- \(BD = CD\)
- \(BE = CE\)
- \(\angle BDE = \angle CED\)

Do đó, hai tam giác \(BDE\) và \(CDE\) bằng nhau theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (SAS), suy ra:
\[ DE = DE \]

Điều này chứng tỏ rằng \(BEDC\) là hình thang cân.

**Kết luận:**
Tứ giác \(BEDC\) là hình thang cân và \(BE = DE\).