Để tìm số tự nhiên \( x \) nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện sau:
- Chia 3 dư 1
- Chia 4 dư 2
- Chia 5 dư 3
- Chia 6 dư 4
- Chia hết cho 11

Chúng ta có thể biểu diễn các điều kiện này dưới dạng các phương trình đồng dư:

1. \( x \equiv 1 \pmod{3} \)
2. \( x \equiv 2 \pmod{4} \)
3. \( x \equiv 3 \pmod{5} \)
4. \( x \equiv 4 \pmod{6} \)
5. \( x \equiv 0 \pmod{11} \)

Nhận thấy rằng các phương trình từ 1 đến 4 có một mẫu số chung là \( x \equiv -2 \pmod{3} \), \( x \equiv -2 \pmod{4} \), \( x \equiv -2 \pmod{5} \), và \( x \equiv -2 \pmod{6} \). Điều này có nghĩa là:

\[ x + 2 \equiv 0 \pmod{3} \]
\[ x + 2 \equiv 0 \pmod{4} \]
\[ x + 2 \equiv 0 \pmod{5} \]
\[ x + 2 \equiv 0 \pmod{6} \]

Do đó, \( x + 2 \) phải là bội chung nhỏ nhất của 3, 4, 5 và 6. Bội chung nhỏ nhất của 3, 4, 5 và 6 là 60. Vậy:

\[ x + 2 = 60k \]
\[ x = 60k - 2 \]

Đồng thời, \( x \) phải chia hết cho 11, nên ta có:

\[ 60k - 2 \equiv 0 \pmod{11} \]
\[ 60k \equiv 2 \pmod{11} \]
\[ 60 \equiv 5 \pmod{11} \]
\[ 5k \equiv 2 \pmod{11} \]

Để giải phương trình này, ta tìm \( k \):

\[ 5k \equiv 2 \pmod{11} \]

Ta tìm nghịch đảo của 5 modulo 11, tức là tìm số \( y \) sao cho:

\[ 5y \equiv 1 \pmod{11} \]

Dễ thấy rằng \( y = 9 \) vì:

\[ 5 \times 9 = 45 \equiv 1 \pmod{11} \]

Do đó:

\[ k \equiv 2 \times 9 \pmod{11} \]
\[ k \equiv 18 \pmod{11} \]
\[ k \equiv 7 \pmod{11} \]

Vậy \( k = 11m + 7 \) với \( m \) là số nguyên. Thay vào biểu thức của \( x \):

\[ x = 60(11m + 7) - 2 \]
\[ x = 660m + 420 - 2 \]
\[ x = 660m + 418 \]

Với \( m = 0 \), ta có \( x = 418 \).

Vậy số tự nhiên \( x \) nhỏ nhất thỏa mãn tất cả các điều kiện là \( 418 \).