Để chứng minh rằng \( p^2 - 1 \) chia hết cho 24 với \( p \) là số nguyên tố lớn hơn 3, ta có thể làm như sau:

1. **Phân tích \( p^2 - 1 \):**

Ta có:
\[
p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)
\]

2. **Xét tính chất của các số nguyên tố lớn hơn 3:**

Các số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng \( 6k \pm 1 \) (vì các số nguyên tố khác 2 và 3 không chia hết cho 2 và 3).

- Nếu \( p = 6k + 1 \):
\[
p - 1 = 6k \quad \text{và} \quad p + 1 = 6k + 2
\]
Khi đó:
\[
(p - 1)(p + 1) = 6k(6k + 2) = 6k \cdot 2(3k + 1) = 12k(3k + 1)
\]

- Nếu \( p = 6k - 1 \):
\[
p - 1 = 6k - 2 \quad \text{và} \quad p + 1 = 6k
\]
Khi đó:
\[
(p - 1)(p + 1) = (6k - 2)6k = 6k \cdot 2(3k - 1) = 12k(3k - 1)
\]

3. **Chứng minh chia hết cho 24:**

Trong cả hai trường hợp trên, ta thấy rằng \( (p - 1)(p + 1) \) đều có dạng \( 12k \cdot \text{một số nguyên} \). Điều này có nghĩa là \( (p - 1)(p + 1) \) luôn chia hết cho 12.

Ngoài ra, ta cần chứng minh rằng \( (p - 1)(p + 1) \) chia hết cho 8. Ta xét các trường hợp:

- Nếu \( p = 6k + 1 \):
\[
p - 1 = 6k \quad \text{và} \quad p + 1 = 6k + 2
\]
Trong đó, \( 6k \) là số chẵn và \( 6k + 2 \) cũng là số chẵn. Do đó, tích của hai số chẵn này chắc chắn chia hết cho 8.

- Nếu \( p = 6k - 1 \):
\[
p - 1 = 6k - 2 \quad \text{và} \quad p + 1 = 6k
\]
Trong đó, \( 6k \) là số chẵn và \( 6k - 2 \) cũng là số chẵn. Do đó, tích của hai số chẵn này chắc chắn chia hết cho 8.

Vì vậy, \( (p - 1)(p + 1) \) chia hết cho cả 12 và 8, nên nó phải chia hết cho \( \text{BCNN}(12, 8) = 24 \).

Kết luận: \( p^2 - 1 \) chia hết cho 24 với mọi số nguyên tố \( p \) lớn hơn 3.