Để giải bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần theo yêu cầu.

a) Chứng minh ba điểm D, A, E thẳng hàng:
- Tam giác ABD vuông cân tại D, nên góc ADB = 90 độ và AD = BD.
- Tam giác ACE vuông cân tại E, nên góc AEC = 90 độ và AE = EC.
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC = 90 độ.
- Do đó, góc DAE = góc DAB + góc BAC + góc CAE = 45 độ + 90 độ + 45 độ = 180 độ.
- Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.

b) Chứng minh DM ⊥ AB và EM ⊥ AC:
- Gọi M là trung điểm của BC, nên BM = MC.
- Trong tam giác ABD, vì tam giác vuông cân tại D nên MD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB, do đó MD ⊥ AB.
- Tương tự, trong tam giác ACE, vì tam giác vuông cân tại E nên ME là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC, do đó ME ⊥ AC.

c) Tam giác DME là tam giác gì?
- Từ phần b, ta có DM ⊥ AB và EM ⊥ AC.
- Do đó, DM ⊥ ME.
- Vậy tam giác DME là tam giác vuông tại M.

d) Tam giác vuông ABC cần thỏa mãn điều kiện gì để A là trung điểm của ED?
- Để A là trung điểm của ED, ta cần AD = AE.
- Vì tam giác ABD vuông cân tại D, nên AD = BD.
- Vì tam giác ACE vuông cân tại E, nên AE = EC.
- Do đó, để AD = AE, ta cần BD = EC.
- Vì tam giác ABC vuông tại A, nên AB = AC.
- Vậy tam giác vuông ABC cần thỏa mãn điều kiện AB = AC để A là trung điểm của ED.