Để chứng minh \( PQ \parallel BC \), ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học phẳng và các định lý liên quan đến đường trung tuyến, đường song song và các tam giác đồng dạng.

1. **Xét các điểm và đường thẳng đã cho:**

- \( AM \) là trung tuyến của tam giác \( \Delta ABC \), do đó \( M \) là trung điểm của \( BC \).
- Đường thẳng song song với \( BC \) cắt \( AB, AM, AC \) lần lượt tại \( E, N, F \).
- \( K \) thuộc tia đối của tia \( FB \) sao cho \( FK = FB \).

2. **Sử dụng tính chất đường trung tuyến và đường song song:**

- Vì \( N \) nằm trên \( AM \) và \( EF \parallel BC \), nên \( N \) là trung điểm của \( EF \) (do \( M \) là trung điểm của \( BC \) và \( AM \) là trung tuyến).
- Do đó, \( AN = NM \).

3. **Xét các tam giác đồng dạng:**

- Vì \( EF \parallel BC \), nên các tam giác \( \Delta AEF \) và \( \Delta ABC \) đồng dạng với nhau (theo định lý đường thẳng song song cắt hai cạnh của tam giác).
- Từ đó, ta có các tỉ số đồng dạng:
\[
\frac{AE}{AB} = \frac{AN}{AM} = \frac{AF}{AC}
\]

4. **Xét điểm \( K \):**

- \( K \) thuộc tia đối của tia \( FB \) sao cho \( FK = FB \), do đó \( K \) là điểm đối xứng của \( B \) qua \( F \).

5. **Xét các giao điểm \( P \) và \( Q \):**

- \( KN \) cắt \( AB \) tại \( P \).
- \( KM \) cắt \( AC \) tại \( Q \).

6. **Chứng minh \( PQ \parallel BC \):**

- Xét tam giác \( \Delta KFB \) với \( F \) là trung điểm của \( KB \) (do \( FK = FB \)).
- Do đó, \( KF \parallel BC \) và \( KF \) là đường trung bình của tam giác \( \Delta KBC \).
- Từ đó, ta có \( P \) và \( Q \) là các điểm tương ứng trên \( AB \) và \( AC \) sao cho \( PQ \parallel BC \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( PQ \parallel BC \).