Để chứng minh \(DC = DE\), ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học của tam giác vuông cân và các đường vuông góc.

Giả sử tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), nghĩa là \(AB = AC\) và \(\angle BAC = 90^\circ\). Gọi \(AB = AC = a\).

1. **Đặt tọa độ các điểm:**
- \(A(0, 0)\)
- \(B(a, 0)\)
- \(C(0, a)\)

2. **Xác định tọa độ của \(M\) và \(N\):**
- \(M\) nằm trên \(AB\) sao cho \(AM = AN\). Vì \(AM = AN\) và \(AB = AC\), \(M\) và \(N\) phải đối xứng nhau qua đường phân giác của \(\angle BAC\).
- Giả sử \(M\) có tọa độ \((x, 0)\), thì \(N\) sẽ có tọa độ \((0, x)\).

3. **Xác định phương trình đường thẳng \(BN\):**
- \(B(a, 0)\) và \(N(0, x)\).
- Phương trình đường thẳng \(BN\) là: \(\frac{y - 0}{x - 0} = \frac{0 - x}{a - 0} \Rightarrow y = -\frac{x}{a}x + x\).

4. **Xác định phương trình đường thẳng vuông góc với \(BN\) tại \(A\) và \(M\):**
- Đường thẳng \(BN\) có hệ số góc là \(-\frac{x}{a}\), nên đường thẳng vuông góc với \(BN\) sẽ có hệ số góc là \(\frac{a}{x}\).
- Phương trình đường thẳng qua \(A(0, 0)\) và vuông góc với \(BN\) là: \(y = \frac{a}{x}x\).
- Phương trình đường thẳng qua \(M(x, 0)\) và vuông góc với \(BN\) là: \(y - 0 = \frac{a}{x}(x - x) \Rightarrow y = \frac{a}{x}(x - x)\).

5. **Xác định giao điểm \(D\) và \(E\):**
- Giao điểm \(D\) của đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(BN\) với \(BC\) (đường thẳng \(BC\) có phương trình \(y = -x + a\)).
- Giao điểm \(E\) của đường thẳng qua \(M\) và vuông góc với \(BN\) với \(BC\).

6. **Chứng minh \(DC = DE\):**
- Do \(M\) và \(N\) đối xứng nhau qua đường phân giác của \(\angle BAC\), các đường vuông góc từ \(A\) và \(M\) đến \(BN\) sẽ cắt \(BC\) tại các điểm đối xứng nhau qua trung điểm của \(BC\).
- Vì \(BC\) là đường chéo của hình vuông \(ABCA\), trung điểm của \(BC\) là điểm \(P\) có tọa độ \((\frac{a}{2}, \frac{a}{2})\).
- Do đó, \(D\) và \(E\) sẽ đối xứng nhau qua \(P\), nên \(DC = DE\).

Vậy ta đã chứng minh được \(DC = DE\).