Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = 2 + x - x^2 \) và trục hoành, ta cần tìm các điểm giao của đồ thị hàm số với trục hoành (tức là các điểm mà \( y = 0 \)).

Giải phương trình \( 2 + x - x^2 = 0 \):

\[ x^2 - x - 2 = 0 \]

Giải phương trình bậc hai này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Với \( a = 1 \), \( b = -1 \), và \( c = -2 \):

\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \]
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} \]
\[ x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} \]
\[ x = \frac{1 \pm 3}{2} \]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[ x = 2 \quad \text{và} \quad x = -1 \]

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành được tính bằng tích phân:

\[ A = \int_{-1}^{2} (2 + x - x^2) \, dx \]

Tính tích phân này:

\[ A = \int_{-1}^{2} (2 + x - x^2) \, dx \]
\[ A = \left[ 2x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{2} \]

Tính giá trị tại \( x = 2 \):

\[ 2(2) + \frac{2^2}{2} - \frac{2^3}{3} = 4 + 2 - \frac{8}{3} = 6 - \frac{8}{3} = \frac{18}{3} - \frac{8}{3} = \frac{10}{3} \]

Tính giá trị tại \( x = -1 \):

\[ 2(-1) + \frac{(-1)^2}{2} - \frac{(-1)^3}{3} = -2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = -2 + \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = -2 + \frac{5}{6} = -\frac{12}{6} + \frac{5}{6} = -\frac{7}{6} \]

Vậy diện tích là:

\[ A = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \]

Vậy đáp án đúng là:

\[ \boxed{D. \frac{9}{2}} \]