Chúng ta sẽ chứng minh từng phần của bài toán.

### Phần a: Chứng minh \( \sin(x+y) \cdot \sin(x-y) = \sin^2 x - \sin^2 y \)

Sử dụng các công thức lượng giác:

1. Công thức tích của hai sin:
\[ \sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)] \]

Áp dụng công thức này cho \( A = x+y \) và \( B = x-y \):

\[ \sin(x+y) \cdot \sin(x-y) = \frac{1}{2} [\cos((x+y) - (x-y)) - \cos((x+y) + (x-y))] \]

2. Tính các biểu thức trong ngoặc:
\[ (x+y) - (x-y) = x + y - x + y = 2y \]
\[ (x+y) + (x-y) = x + y + x - y = 2x \]

Do đó:
\[ \sin(x+y) \cdot \sin(x-y) = \frac{1}{2} [\cos(2y) - \cos(2x)] \]

3. Sử dụng công thức cos của góc đôi:
\[ \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2 \theta \]

Áp dụng cho \( 2y \) và \( 2x \):
\[ \cos(2y) = 1 - 2\sin^2 y \]
\[ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x \]

4. Thay vào biểu thức:
\[ \sin(x+y) \cdot \sin(x-y) = \frac{1}{2} [(1 - 2\sin^2 y) - (1 - 2\sin^2 x)] \]
\[ = \frac{1}{2} [1 - 2\sin^2 y - 1 + 2\sin^2 x] \]
\[ = \frac{1}{2} [2\sin^2 x - 2\sin^2 y] \]
\[ = \sin^2 x - \sin^2 y \]

Vậy ta đã chứng minh được:
\[ \sin(x+y) \cdot \sin(x-y) = \sin^2 x - \sin^2 y \]

### Phần b: Chứng minh \( \sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} \) trong tam giác ABC

Trong tam giác ABC, ta có:
\[ A + B + C = 180^\circ \]

Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và các công thức lượng giác cho tam giác:

1. Sử dụng công thức:
\[ \sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} \]
\[ \sin B = 2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2} \]
\[ \sin C = 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2} \]

2. Tổng các sin:
\[ \sin A + \sin B + \sin C = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} + 2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2} + 2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2} \]

3. Sử dụng công thức:
\[ \sin \frac{A}{2} + \sin \frac{B}{2} + \sin \frac{C}{2} = 1 \]

4. Tổng các cos:
\[ \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} = \frac{1}{4} (\sin A + \sin B + \sin C) \]

5. Thay vào biểu thức:
\[ \sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} \]

Vậy ta đã chứng minh được:
\[ \sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} \]

Hy vọng các bước trên đã giúp bạn hiểu rõ cách chứng minh hai phần của bài toán.