**Bài 63:**

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), phân giác \(AD\), đường cao \(AH\). Biết \(BD = 15\) cm, \(CD = 20\) cm. Tính độ dài các đoạn thẳng \(HB\), \(HC\).

**Giải:**

Trong tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\) chia tam giác thành hai tam giác vuông nhỏ là \(ABH\) và \(ACH\).

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác \(ABD\) và \(ACD\):

\[
AB^2 = AD^2 + BD^2
\]
\[
AC^2 = AD^2 + CD^2
\]

Do đó:

\[
AB^2 = AD^2 + 15^2
\]
\[
AC^2 = AD^2 + 20^2
\]

Từ đó, ta có:

\[
AB^2 - AC^2 = 15^2 - 20^2 = 225 - 400 = -175
\]

Do đó:

\[
AB^2 = AC^2 - 175
\]

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác \(ABC\):

\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

Do đó:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 = (AC^2 - 175) + AC^2 = 2AC^2 - 175
\]

Áp dụng định lý đường cao trong tam giác vuông:

\[
AH^2 = AB \cdot AC
\]

Do đó:

\[
AH = \sqrt{AB \cdot AC}
\]

Áp dụng định lý đường trung bình trong tam giác vuông:

\[
HB = \frac{AB^2 - AH^2}{2AH}
\]
\[
HC = \frac{AC^2 - AH^2}{2AH}
\]

**Bài 64:**

Cho hình thang cân \(ABCD\) có độ dài cạnh đáy \(AB = 26\) cm và cạnh bên \(AD = 10\) cm. Cho biết đường chéo \(AC\) vuông góc với cạnh bên \(BC\). Tính diện tích hình thang \(ABCD\).

**Giải:**

Do \(AC\) vuông góc với \(BC\), tam giác \(ABC\) là tam giác vuông tại \(C\).

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác \(ABC\):

\[
AC^2 + BC^2 = AB^2
\]

Do đó:

\[
BC^2 = AB^2 - AC^2 = 26^2 - AC^2
\]

Do \(AD = 10\) cm, tam giác \(ADC\) là tam giác vuông tại \(C\):

\[
AD^2 = AC^2 + CD^2
\]

Do đó:

\[
10^2 = AC^2 + CD^2
\]

Do đó:

\[
100 = AC^2 + CD^2
\]

Áp dụng định lý đường cao trong tam giác vuông:

\[
AH = \sqrt{AB \cdot AC}
\]

Áp dụng định lý đường trung bình trong tam giác vuông:

\[
HB = \frac{AB^2 - AH^2}{2AH}
\]
\[
HC = \frac{AC^2 - AH^2}{2AH}
\]

Diện tích hình thang \(ABCD\) được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h
\]

Trong đó \(h\) là chiều cao của hình thang.