Gọi số lớn là \( x \) và số nhỏ là \( y \).

Theo đề bài, ta có hai điều kiện:
1. Hiệu của số lớn và số nhỏ là 1814:
\[ x - y = 1814 \]

2. Khi chia số lớn cho số nhỏ, thương là 9 và số dư là 182:
\[ x = 9y + 182 \]

Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình này.

Thay \( x \) từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất:
\[ 9y + 182 - y = 1814 \]

Rút gọn phương trình:
\[ 8y + 182 = 1814 \]

Trừ 182 từ cả hai vế:
\[ 8y = 1632 \]

Chia cả hai vế cho 8:
\[ y = 204 \]

Bây giờ, thay \( y \) vào phương trình \( x = 9y + 182 \):
\[ x = 9 \cdot 204 + 182 \]
\[ x = 1836 + 182 \]
\[ x = 2018 \]

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là \( x = 2018 \) và \( y = 204 \).