Để giải bài toán này, ta gọi chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật lần lượt là \( x \) cm và \( y \) cm.

Theo đề bài:
1. Nếu tăng chiều dài thêm 6 cm thì diện tích tăng 72 cm²:
\[ (x + 6) \cdot y - x \cdot y = 72 \]
\[ 6y = 72 \]
\[ y = 12 \]

2. Nếu tăng chiều rộng thêm 5 cm thì diện tích tăng 90 cm²:
\[ x \cdot (y + 5) - x \cdot y = 90 \]
\[ x \cdot 5 = 90 \]
\[ x = 18 \]

Vậy chiều dài của hình chữ nhật là 18 cm và chiều rộng là 12 cm. Diện tích của hình chữ nhật là:
\[ S = x \cdot y = 18 \cdot 12 = 216 \, \text{cm}^2 \]

Vậy diện tích của hình chữ nhật là 216 cm².