Để chứng minh rằng \( x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \) khi \( x + y + z = 0 \), ta có thể sử dụng một số tính chất của đa thức và đồng nhất thức.

Đầu tiên, ta có đồng nhất thức sau:
\[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \]

Với điều kiện \( x + y + z = 0 \), ta thay vào đồng nhất thức trên:
\[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (0)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) \]

Do \( x + y + z = 0 \), ta có:
\[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = 0 \]

Từ đó suy ra:
\[ x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \]

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz \) khi \( x + y + z = 0 \).