Để chứng minh rằng \( AX \parallel CD \) biết \( \angle AIE - \angle EIX = 40^\circ \) và \( \angle CKF = 70^\circ \), ta làm như sau:

1. **Xét các góc trong tam giác**:
- Ta có \( \angle AIE \) và \( \angle EIX \) là hai góc kề bù, tức là tổng của chúng bằng \( 180^\circ \).
- Gọi \( \angle AIE = \alpha \) và \( \angle EIX = \beta \). Theo đề bài, ta có:
\[
\alpha - \beta = 40^\circ
\]
và
\[
\alpha + \beta = 180^\circ
\]

2. **Giải hệ phương trình**:
- Từ hai phương trình trên, ta có thể giải hệ phương trình để tìm \( \alpha \) và \( \beta \):
\[
\begin{cases}
\alpha - \beta = 40^\circ \\
\alpha + \beta = 180^\circ
\end{cases}
\]
- Cộng hai phương trình lại:
\[
2\alpha = 220^\circ \implies \alpha = 110^\circ
\]
- Thay \( \alpha = 110^\circ \) vào phương trình \( \alpha + \beta = 180^\circ \):
\[
110^\circ + \beta = 180^\circ \implies \beta = 70^\circ
\]

3. **Xét các góc tại điểm K**:
- Theo đề bài, \( \angle CKF = 70^\circ \).
- Ta nhận thấy rằng \( \angle EIX = \angle CKF = 70^\circ \).

4. **Chứng minh \( AX \parallel CD \)**:
- Ta có \( \angle EIX = \angle CKF = 70^\circ \).
- Hai góc này là hai góc so le trong của hai đường thẳng cắt nhau bởi một đường thẳng khác.
- Theo định lý về các góc so le trong, nếu hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song với nhau.
- Do đó, \( AX \parallel CD \).

Vậy ta đã chứng minh được rằng \( AX \parallel CD \).