Tìm số dư của phép chia: 2018^2022 cho 9

Để tìm số dư của \(2018^{2022}\) khi chia cho 9, ta có thể sử dụng định lý số dư (hay còn gọi là định lý đồng dư).

Trước tiên, ta tìm số dư của 2018 khi chia cho 9:
\[ 2018 \div 9 = 224 \text{ dư } 2 \]
Vậy:
\[ 2018 \equiv 2 \pmod{9} \]

Do đó:
\[ 2018^{2022} \equiv 2^{2022} \pmod{9} \]

Bây giờ, ta cần tìm số dư của \(2^{2022}\) khi chia cho 9. Ta sẽ sử dụng tính chất chu kỳ của lũy thừa trong modulo 9. Ta tính các lũy thừa của 2 modulo 9:

\[
\begin{align*}
2^1 &\equiv 2 \pmod{9}, \\
2^2 &\equiv 4 \pmod{9}, \\
2^3 &\equiv 8 \pmod{9}, \\
2^4 &\equiv 16 \equiv 7 \pmod{9}, \\
2^5 &\equiv 2 \cdot 7 = 14 \equiv 5 \pmod{9}, \\
2^6 &\equiv 2 \cdot 5 = 10 \equiv 1 \pmod{9}.
\end{align*}
\]

Ta thấy rằng \(2^6 \equiv 1 \pmod{9}\). Điều này có nghĩa là lũy thừa của 2 theo modulo 9 có chu kỳ là 6.

Do đó, ta có thể viết:
\[ 2022 = 6 \cdot 337 + 4 \]

Vậy:
\[ 2^{2022} = 2^{6 \cdot 337 + 4} = (2^6)^{337} \cdot 2^4 \equiv 1^{337} \cdot 2^4 \equiv 2^4 \pmod{9} \]

Từ tính toán trước đó, ta biết:
\[ 2^4 \equiv 7 \pmod{9} \]

Vậy:
\[ 2018^{2022} \equiv 7 \pmod{9} \]

Số dư của \(2018^{2022}\) khi chia cho 9 là 7.