Cho tam giác \( \Delta ABC \), các trung tuyến \( BM \) và \( CN \) cắt nhau ở \( G \). Gọi \( I \) và \( J \) là trung điểm của \( GB \) và \( GC \).

a) Chứng minh rằng \( MN \parallel IJ \) và \( MN = IJ \).

b) Chứng minh rằng \( MJ \parallel NI \) và \( MJ = NI \).

Giải:

a) Chứng minh \( MN \parallel IJ \) và \( MN = IJ \):

- Vì \( G \) là trọng tâm của tam giác \( \Delta ABC \), nên \( G \) chia các trung tuyến \( BM \) và \( CN \) theo tỉ lệ \( 2:1 \).
- \( I \) là trung điểm của \( GB \) nên \( GI = IB \).
- \( J \) là trung điểm của \( GC \) nên \( GJ = JC \).
- Do đó, \( I \) và \( J \) là trung điểm của các đoạn thẳng \( GB \) và \( GC \), nên \( IJ \) là đường trung bình của tam giác \( GBC \).
- Theo tính chất đường trung bình trong tam giác, \( IJ \parallel BC \) và \( IJ = \frac{1}{2} BC \).
- Tương tự, \( MN \) là đường trung bình của tam giác \( ABC \), nên \( MN \parallel BC \) và \( MN = \frac{1}{2} BC \).
- Vậy \( MN \parallel IJ \) và \( MN = IJ \).

b) Chứng minh \( MJ \parallel NI \) và \( MJ = NI \):

- Vì \( I \) là trung điểm của \( GB \) và \( J \) là trung điểm của \( GC \), nên \( IJ \) là đường trung bình của tam giác \( GBC \).
- Do đó, \( IJ \parallel BC \) và \( IJ = \frac{1}{2} BC \).
- Tương tự, \( MJ \) và \( NI \) là các đoạn thẳng nối các trung điểm của các đoạn thẳng trong tam giác \( GBC \).
- Theo tính chất đường trung bình trong tam giác, \( MJ \parallel NI \) và \( MJ = NI \).

Vậy \( MJ \parallel NI \) và \( MJ = NI \).