Để chứng minh đẳng thức sau:
\[ \sin^4 a + \cos^4 a = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4a, \]

ta sẽ bắt đầu từ vế trái và biến đổi nó để ra được vế phải.

1. Ta có:
\[ \sin^4 a + \cos^4 a = (\sin^2 a)^2 + (\cos^2 a)^2. \]

2. Sử dụng hằng đẳng thức:
\[ x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy, \]
với \( x = \sin^2 a \) và \( y = \cos^2 a \), ta có:
\[ \sin^4 a + \cos^4 a = (\sin^2 a + \cos^2 a)^2 - 2\sin^2 a \cos^2 a. \]

3. Vì \( \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \), ta có:
\[ \sin^4 a + \cos^4 a = 1^2 - 2\sin^2 a \cos^2 a = 1 - 2\sin^2 a \cos^2 a. \]

4. Sử dụng công thức nhân đôi:
\[ \sin 2a = 2 \sin a \cos a \]
\[ \sin^2 2a = (2 \sin a \cos a)^2 = 4 \sin^2 a \cos^2 a, \]
ta có:
\[ 2 \sin^2 a \cos^2 a = \frac{1}{2} \sin^2 2a. \]

5. Thay vào biểu thức trên, ta có:
\[ \sin^4 a + \cos^4 a = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2a. \]

Vậy ta đã chứng minh được phần đầu của đẳng thức:
\[ \sin^4 a + \cos^4 a = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2a. \]

6. Tiếp theo, ta chứng minh:
\[ 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4a. \]

7. Ta có:
\[ \cos 4a = 2 \cos^2 2a - 1 = 2 (1 - \sin^2 2a) - 1 = 1 - 2 \sin^2 2a. \]

8. Thay vào biểu thức cần chứng minh:
\[ \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} (1 - 2 \sin^2 2a) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \sin^2 2a = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2a. \]

Vậy ta đã chứng minh được:
\[ 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4a. \]

Kết hợp lại, ta có:
\[ \sin^4 a + \cos^4 a = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2a = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4a. \]

Đẳng thức đã được chứng minh.