Để giải bài toán này, ta sử dụng định lý Pythagoras và tỉ lệ đã cho.

Ta có tam giác vuông \( \Delta ABC \) vuông tại \( A \), với \( AB \) và \( AC \) là hai cạnh góc vuông, và \( BC \) là cạnh huyền.

Theo định lý Pythagoras:
\[ AB^2 + AC^2 = BC^2 \]

Biết rằng:
\[ \frac{AB}{AC} = \frac{8}{15} \]
và
\[ BC = 51 \]

Gọi \( AB = 8k \) và \( AC = 15k \), với \( k \) là một hằng số.

Thay vào phương trình Pythagoras:
\[ (8k)^2 + (15k)^2 = 51^2 \]
\[ 64k^2 + 225k^2 = 2601 \]
\[ 289k^2 = 2601 \]
\[ k^2 = \frac{2601}{289} \]
\[ k^2 = 9 \]
\[ k = 3 \]

Vậy:
\[ AB = 8k = 8 \times 3 = 24 \]
\[ AC = 15k = 15 \times 3 = 45 \]

Do đó:
\[ AB = 24 \]
\[ AC = 45 \]