Để tính giá trị các biểu thức, ta sẽ sử dụng các điều kiện đã cho: \( x + y = 2 \) và \( x^2 + y^2 = 6 \).

a) \( E = (x - y)^2 \)

Ta có:
\[ (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy \]
\[ 2^2 = 6 + 2xy \]
\[ 4 = 6 + 2xy \]
\[ 2xy = 4 - 6 \]
\[ 2xy = -2 \]
\[ xy = -1 \]

Tiếp theo, ta tính \( (x - y)^2 \):
\[ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \]
\[ (x - y)^2 = 6 - 2(-1) \]
\[ (x - y)^2 = 6 + 2 \]
\[ (x - y)^2 = 8 \]

Vậy, \( E = 8 \).

b) \( F = (x^2 + 3)(y^2 + 3) + (x + 3)(y + 3) \)

Ta tính từng phần:
\[ (x^2 + 3)(y^2 + 3) = x^2y^2 + 3x^2 + 3y^2 + 9 \]
\[ = (xy)^2 + 3(x^2 + y^2) + 9 \]
\[ = (-1)^2 + 3 \cdot 6 + 9 \]
\[ = 1 + 18 + 9 \]
\[ = 28 \]

\[ (x + 3)(y + 3) = xy + 3x + 3y + 9 \]
\[ = -1 + 3(x + y) + 9 \]
\[ = -1 + 3 \cdot 2 + 9 \]
\[ = -1 + 6 + 9 \]
\[ = 14 \]

Vậy:
\[ F = 28 + 14 = 42 \]

c) \( M = x^3 + y^3 \)

Ta sử dụng công thức:
\[ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) \]
\[ x^3 + y^3 = 2(6 - (-1)) \]
\[ x^3 + y^3 = 2 \cdot 7 \]
\[ x^3 + y^3 = 14 \]

Vậy, \( M = 14 \).

d) \( N = x^5 + y^5 \)

Ta sử dụng công thức:
\[ x^5 + y^5 = (x + y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4) \]

Ta cần tính \( x^4 \) và \( y^4 \):
\[ x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2(xy)^2 \]
\[ x^4 + y^4 = 6^2 - 2(-1)^2 \]
\[ x^4 + y^4 = 36 - 2 \]
\[ x^4 + y^4 = 34 \]

Tiếp theo, ta tính \( x^3y \) và \( xy^3 \):
\[ x^3y + xy^3 = xy(x^2 + y^2) \]
\[ x^3y + xy^3 = -1 \cdot 6 \]
\[ x^3y + xy^3 = -6 \]

Vậy:
\[ x^5 + y^5 = (x + y)(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4) \]
\[ x^5 + y^5 = 2(34 - (-6)) \]
\[ x^5 + y^5 = 2 \cdot 40 \]
\[ x^5 + y^5 = 80 \]

Vậy, \( N = 80 \).