Để phân tích đa thức \( x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 \) thành nhân tử, chúng ta có thể thử các phương pháp như phân tích bằng cách thử nghiệm các nghiệm hữu tỉ, sử dụng định lý Bezout, hoặc các phương pháp khác. Tuy nhiên, trong trường hợp này, chúng ta sẽ thử phân tích bằng cách sử dụng phương pháp thử nghiệm các nghiệm hữu tỉ.

Đầu tiên, chúng ta sẽ thử nghiệm các nghiệm hữu tỉ có dạng \( \pm 1, \pm 1/2, \pm 1/3, \pm 1/4 \), v.v. Tuy nhiên, để đơn giản hóa, chúng ta sẽ thử nghiệm các nghiệm nguyên trước.

1. Thử nghiệm \( x = 1 \):
\[
f(1) = 1^4 + 2 \cdot 1^3 + 3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 + 1 = 1 + 2 + 3 + 2 + 1 = 9 \neq 0
\]
Vậy \( x = 1 \) không phải là nghiệm.

2. Thử nghiệm \( x = -1 \):
\[
f(-1) = (-1)^4 + 2 \cdot (-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 1 = 1 - 2 + 3 - 2 + 1 = 1 \neq 0
\]
Vậy \( x = -1 \) không phải là nghiệm.

3. Thử nghiệm \( x = 2 \):
\[
f(2) = 2^4 + 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 1 = 16 + 16 + 12 + 4 + 1 = 49 \neq 0
\]
Vậy \( x = 2 \) không phải là nghiệm.

4. Thử nghiệm \( x = -2 \):
\[
f(-2) = (-2)^4 + 2 \cdot (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 + 2 \cdot (-2) + 1 = 16 - 16 + 12 - 4 + 1 = 9 \neq 0
\]
Vậy \( x = -2 \) không phải là nghiệm.

Do không tìm thấy nghiệm nguyên nào, chúng ta có thể thử nghiệm các nghiệm phức hoặc sử dụng các phương pháp khác như phân tích bằng cách sử dụng định lý Bezout hoặc các công cụ phần mềm để tìm các nghiệm phức.

Tuy nhiên, trong trường hợp này, chúng ta có thể nhận thấy rằng đa thức này có thể được phân tích thành nhân tử bằng cách sử dụng các phương pháp khác. Một cách tiếp cận khác là sử dụng các công cụ phần mềm như WolframAlpha hoặc các phần mềm toán học khác để phân tích đa thức này.

Sử dụng WolframAlpha, chúng ta có thể phân tích đa thức này thành nhân tử như sau:
\[
x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = (x^2 + x + 1)^2
\]

Vậy, đa thức \( x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1 \) có thể được phân tích thành nhân tử là:
\[
(x^2 + x + 1)^2
\]