Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \), trước hết chúng ta cần phân tích và đơn giản hóa biểu thức \( A \). Cho các số thực dương \( x, y, z \) thỏa mãn \( 12x + 8y + 6z = 3xyz \).

Đầu tiên, ta có thể biến đổi điều kiện này để dễ dàng hơn trong việc xử lý:
\[ 12x + 8y + 6z = 3xyz \]
\[ \Rightarrow 4x + \frac{8y}{3} + 2z = xyz \]

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét biểu thức \( A \):
\[ A = \frac{8}{27x^3} \left( \frac{1}{y} + 1 \right) \left( \frac{1}{y^2} - \frac{1}{y} + 1 \right) + \frac{1}{y^3} \left( \frac{4}{3z} + 1 \right) \left( \frac{16}{9z^2} - \frac{4}{3z} + 1 \right) + \frac{1}{z^3} \left( \frac{1}{2x} + \frac{3}{4} \right) \left( \frac{1}{4x^2} - \frac{3}{8x} + \frac{9}{16} \right) + \frac{2/x + 3/y + 4/z + 9}{112} + \left( \frac{4}{x^2} + \frac{9}{y^2} + \frac{16}{z^2} - \frac{6yz + 9xz + 12xy}{xyz} + 27 \right) \]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \), ta cần thử các giá trị cụ thể của \( x, y, z \) thỏa mãn điều kiện đã cho. Một cách tiếp cận là thử các giá trị đơn giản và đối xứng.

Giả sử \( x = 1, y = 1, z = 1 \):
\[ 12(1) + 8(1) + 6(1) = 3(1)(1)(1) \]
\[ 26 \neq 3 \]

Vậy \( x = 2, y = 1, z = 1 \):
\[ 12(2) + 8(1) + 6(1) = 3(2)(1)(1) \]
\[ 32 \neq 6 \]

Giả sử \( x = 1, y = 2, z = 1 \):
\[ 12(1) + 8(2) + 6(1) = 3(1)(2)(1) \]
\[ 34 \neq 6 \]

Giả sử \( x = 1, y = 1, z = 2 \):
\[ 12(1) + 8(1) + 6(2) = 3(1)(1)(2) \]
\[ 32 \neq 6 \]

Giả sử \( x = 2, y = 2, z = 1 \):
\[ 12(2) + 8(2) + 6(1) = 3(2)(2)(1) \]
\[ 44 \neq 12 \]

Giả sử \( x = 2, y = 1, z = 3 \):
\[ 12(2) + 8(1) + 6(3) = 3(2)(1)(3) \]
\[ 38 = 18 \]

Giả sử \( x = 1, y = 3, z = 2 \):
\[ 12(1) + 8(3) + 6(2) = 3(1)(3)(2) \]
\[ 42 = 18 \]

Giả sử \( x = 3, y = 1, z = 2 \):
\[ 12(3) + 8(1) + 6(2) = 3(3)(1)(2) \]
\[ 50 = 18 \]

Giả sử \( x = 2, y = 3, z = 1 \):
\[ 12(2) + 8(3) + 6(1) = 3(2)(3)(1) \]
\[ 50 = 18 \]

Giả sử \( x = 3, y = 2, z = 1 \):
\[ 12(3) + 8(2) + 6(1) = 3(3)(2)(1) \]
\[ 50 = 18 \]

Vậy \( x = 2, y = 1, z = 3 \) là một bộ giá trị thỏa mãn điều kiện. Ta sẽ tính giá trị của \( A \) với bộ giá trị này:
\[ A = \frac{8}{27(2)^3} \left( \frac{1}{1} + 1 \right) \left( \frac{1}{1^2} - \frac{1}{1} + 1 \right) + \frac{1}{1^3} \left( \frac{4}{3(3)} + 1 \right) \left( \frac{16}{9(3)^2} - \frac{4}{3(3)} + 1 \right) + \frac{1}{3^3} \left( \frac{1}{2(2)} + \frac{3}{4} \right) \left( \frac{1}{4(2)^2} - \frac{3}{8(2)} + \frac{9}{16} \right) + \frac{2/2 + 3/1 + 4/3 + 9}{112} + \left( \frac{4}{2^2} + \frac{9}{1^2} + \frac{16}{3^2} - \frac{6(1)(3) + 9(2)(3) + 12(2)(1)}{2(1)(3)} + 27 \right) \]

\[ A = \frac{8}{216} \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot \left( \frac{4}{9} + 1 \right) \left( \frac{16}{81} - \frac{4}{9} + 1 \right) + \frac{1}{27} \left( \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \right) \left( \frac{1}{16} - \frac{3}{16} + \frac{9}{16} \right) + \frac{1 + 3 + \frac{4}{3} + 9}{112} + \left( \frac{1}{1} + 9 + \frac{16}{9} - \frac{18 + 54 + 24}{6} + 27 \right) \]

\[ A = \frac{8}{108} + \left( \frac{4}{9} + 1 \right) \left( \frac{16}{81} - \frac{36}{81} + \frac{81}{81} \right) + \frac{1}{27} \left( 1 \right) \left( \frac{7}{16} \right) + \frac{13.33}{112} + \left( 1 + 9 + 1.78 - 16 + 27 \right) \]

\[ A = \frac{4}{54} + \left( \frac{13}{9} \right) \left( \frac{61}{81} \right) + \frac{7}{432} + \frac{13.33}{112} + 22.78 \]

\[ A = \frac{2}{27} + \frac{793}{729} + \frac{7}{432} + \frac{13.33}{112} + 22.78 \]

\[ A = 0.074 + 1.088 + 0.016 + 0.119 + 22.78 \]

\[ A \approx 24.077 \]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( A \) là khoảng 24.077.