Để chứng minh rằng các đường thẳng \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) đồng quy, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình học phẳng và phép đối xứng.

Trước hết, ta nhắc lại các điểm và tính chất liên quan:
- \(M, N, Q\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(AB, AC, BC\).
- \(A', B', C'\) lần lượt là điểm đối xứng của \(P\) qua \(Q, N, M\).

Do đó, ta có:
- \(Q\) là trung điểm của \(BC\), và \(A'\) là điểm đối xứng của \(P\) qua \(Q\), tức là \(Q\) là trung điểm của \(PA'\).
- \(N\) là trung điểm của \(AC\), và \(B'\) là điểm đối xứng của \(P\) qua \(N\), tức là \(N\) là trung điểm của \(PB'\).
- \(M\) là trung điểm của \(AB\), và \(C'\) là điểm đối xứng của \(P\) qua \(M\), tức là \(M\) là trung điểm của \(PC'\).

Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng các đường thẳng \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) đồng quy.

### Bước 1: Xét tam giác \(ABC\) và điểm \(P\)
Giả sử \(P\) là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng. Ta cần chứng minh rằng các đường thẳng \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) đồng quy tại một điểm.

### Bước 2: Sử dụng phép đối xứng
Do \(A'\) là điểm đối xứng của \(P\) qua \(Q\), ta có:
\[ \vec{A'} = 2\vec{Q} - \vec{P} \]
Tương tự, ta có:
\[ \vec{B'} = 2\vec{N} - \vec{P} \]
\[ \vec{C'} = 2\vec{M} - \vec{P} \]

### Bước 3: Xét các đường thẳng \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\)
Ta cần chứng minh rằng các đường thẳng này đồng quy. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng tính chất của các trung điểm và phép đối xứng.

### Bước 4: Sử dụng định lý Định lý Ceva
Để chứng minh rằng các đường thẳng \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) đồng quy, ta sẽ sử dụng định lý Ceva trong tam giác \(ABC\).

Theo định lý Ceva, các đường thẳng \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) đồng quy nếu và chỉ nếu:
\[ \frac{BA'}{A'C} \cdot \frac{CB'}{B'A} \cdot \frac{AC'}{C'B} = 1 \]

### Bước 5: Tính các tỉ số
Do \(A'\) là điểm đối xứng của \(P\) qua \(Q\), ta có:
\[ \frac{BA'}{A'C} = \frac{BP}{PC} \]
Tương tự, ta có:
\[ \frac{CB'}{B'A} = \frac{CP}{PA} \]
\[ \frac{AC'}{C'B} = \frac{AP}{PB} \]

### Bước 6: Kiểm tra tích các tỉ số
Tích các tỉ số này là:
\[ \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CP}{PA} \cdot \frac{AP}{PB} = 1 \]

Do đó, theo định lý Ceva, các đường thẳng \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) đồng quy.

Vậy, ta đã chứng minh rằng các đường thẳng \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\) đồng quy.