Cho đồ thị các hàm số

Để giải bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

### 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiệm cận xiên đồ thị các hàm số trên chân trên hai trục tọa độ.

#### a) Hàm số \( y = \frac{3x^2 + x + 1}{x - 1} \)

Để tìm tiệm cận xiên, ta chia tử số cho mẫu số:
\[ \frac{3x^2 + x + 1}{x - 1} = 3x + 4 + \frac{5}{x - 1} \]

Vậy tiệm cận xiên là \( y = 3x + 4 \).

#### b) Hàm số \( y = \frac{x^2 - 4x + 5}{2x + 1} \)

Để tìm tiệm cận xiên, ta chia tử số cho mẫu số:
\[ \frac{x^2 - 4x + 5}{2x + 1} = \frac{1}{2}x - \frac{9}{4} + \frac{\frac{29}{4}}{2x + 1} \]

Vậy tiệm cận xiên là \( y = \frac{1}{2}x - \frac{9}{4} \).

#### c) Hàm số \( y = \frac{-x^2 + x - 1}{x + 3} \)

Để tìm tiệm cận xiên, ta chia tử số cho mẫu số:
\[ \frac{-x^2 + x - 1}{x + 3} = -x + 4 + \frac{-13}{x + 3} \]

Vậy tiệm cận xiên là \( y = -x + 4 \).

### 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 với các tiệm cận của đồ thị các hàm số trên.

#### a) Hàm số \( y = \frac{3x^2 + x + 1}{x - 1} \)

Tính đạo hàm của hàm số:
\[ y' = \frac{(6x + 1)(x - 1) - (3x^2 + x + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{6x^2 - 6x + x - 1 - 3x^2 - x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{3x^2 - 6x - 2}{(x - 1)^2} \]

Tại \( x = 2 \):
\[ y' = \frac{3(2)^2 - 6(2) - 2}{(2 - 1)^2} = \frac{12 - 12 - 2}{1} = -2 \]

Phương trình tiếp tuyến tại \( x = 2 \):
\[ y - y(2) = y'(2)(x - 2) \]
\[ y(2) = \frac{3(2)^2 + 2 + 1}{2 - 1} = 15 \]
\[ y - 15 = -2(x - 2) \]
\[ y = -2x + 19 \]

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi tiếp tuyến và tiệm cận xiên \( y = 3x + 4 \):
\[ \int_{a}^{b} |(-2x + 19) - (3x + 4)| dx \]

Tương tự, bạn có thể tính toán cho các hàm số còn lại.

### Kết luận
Bạn cần thực hiện các bước tương tự cho các hàm số còn lại để tìm tiệm cận xiên và phương trình tiếp tuyến tại \( x = 2 \), sau đó tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường này.