Để tìm giá trị của \( m \) sao cho các tiếp tuyến của đồ thị \( (C_m) \) tại hai điểm \( A(1, 0) \) và \( B(-1, 0) \) vuông góc với nhau, ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Tính đạo hàm của hàm số \( y \):**
\[
y = -x^4 + 2mx^2 - 2m + 1
\]
Đạo hàm của \( y \) theo \( x \) là:
\[
y' = -4x^3 + 4mx
\]

2. **Tính đạo hàm tại các điểm \( A(1, 0) \) và \( B(-1, 0) \):**
\[
y'(1) = -4(1)^3 + 4m(1) = -4 + 4m
\]
\[
y'(-1) = -4(-1)^3 + 4m(-1) = 4 - 4m
\]

3. **Điều kiện vuông góc của hai tiếp tuyến:**
Hai tiếp tuyến vuông góc khi tích các hệ số góc của chúng bằng -1:
\[
(-4 + 4m) \cdot (4 - 4m) = -1
\]
Giải phương trình này:
\[
(-4 + 4m)(4 - 4m) = -1
\]
\[
-16 + 16m - 16m + 16m^2 = -1
\]
\[
16m^2 - 16 = -1
\]
\[
16m^2 = 15
\]
\[
m^2 = \frac{15}{16}
\]
\[
m = \pm \frac{\sqrt{15}}{4}
\]

4. **Kiểm tra các đáp án:**
Các đáp án cho trước là:
\[
A. \frac{3}{4}, \frac{5}{4}
\]
\[
B. -\frac{3}{4}, -\frac{5}{4}
\]
\[
C. \frac{3}{4}, -\frac{5}{4}
\]
\[
D. -\frac{3}{4}, \frac{5}{4}
\]

So sánh với kết quả \( m = \pm \frac{\sqrt{15}}{4} \), ta thấy không có đáp án nào khớp với kết quả này. Tuy nhiên, nếu xét về giá trị gần đúng, ta có thể kiểm tra lại các đáp án để tìm giá trị gần đúng nhất.

Vì vậy, đáp án chính xác không nằm trong các lựa chọn đã cho. Tuy nhiên, nếu phải chọn đáp án gần đúng nhất, ta có thể chọn đáp án gần với giá trị \( \pm \frac{\sqrt{15}}{4} \).