Tìm hai số tự nhiên ab thỏa mãn bội chung nhỏ nhất (a; b) + ước chung lớn nhất (a; b) = 22

Để tìm hai số tự nhiên \(a\) và \(b\) thỏa mãn điều kiện \( \text{BCNN}(a, b) + \text{ƯCLN}(a, b) = 22 \), ta cần hiểu rõ các khái niệm về bội chung nhỏ nhất (BCNN) và ước chung lớn nhất (ƯCLN).

Giả sử \( \text{ƯCLN}(a, b) = d \). Khi đó, ta có thể viết \( a = d \cdot m \) và \( b = d \cdot n \) với \( \text{ƯCLN}(m, n) = 1 \).

Ta có công thức:
\[ \text{BCNN}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{ƯCLN}(a, b)} \]

Thay vào công thức trên, ta được:
\[ \text{BCNN}(a, b) = \frac{d \cdot m \cdot d \cdot n}{d} = d \cdot m \cdot n \]

Theo đề bài, ta có:
\[ \text{BCNN}(a, b) + \text{ƯCLN}(a, b) = 22 \]
\[ d \cdot m \cdot n + d = 22 \]
\[ d (m \cdot n + 1) = 22 \]

Do \(d\) là ước của 22, các giá trị có thể có của \(d\) là 1, 2, 11, và 22. Ta sẽ thử từng giá trị của \(d\) để tìm ra các số \(a\) và \(b\) thỏa mãn điều kiện.

1. **Nếu \(d = 1\):**
\[ 1 (m \cdot n + 1) = 22 \]
\[ m \cdot n + 1 = 22 \]
\[ m \cdot n = 21 \]

Các cặp số \( (m, n) \) thỏa mãn \( m \cdot n = 21 \) và \( \text{ƯCLN}(m, n) = 1 \) là:
\[ (m, n) = (3, 7) \text{ hoặc } (7, 3) \]

Khi đó:
\[ a = d \cdot m = 1 \cdot 3 = 3 \]
\[ b = d \cdot n = 1 \cdot 7 = 7 \]
hoặc
\[ a = 1 \cdot 7 = 7 \]
\[ b = 1 \cdot 3 = 3 \]

Vậy cặp số \( (a, b) \) là \( (3, 7) \) hoặc \( (7, 3) \).

2. **Nếu \(d = 2\):**
\[ 2 (m \cdot n + 1) = 22 \]
\[ m \cdot n + 1 = 11 \]
\[ m \cdot n = 10 \]

Các cặp số \( (m, n) \) thỏa mãn \( m \cdot n = 10 \) và \( \text{ƯCLN}(m, n) = 1 \) là:
\[ (m, n) = (2, 5) \text{ hoặc } (5, 2) \]

Khi đó:
\[ a = d \cdot m = 2 \cdot 2 = 4 \]
\[ b = d \cdot n = 2 \cdot 5 = 10 \]
hoặc
\[ a = 2 \cdot 5 = 10 \]
\[ b = 2 \cdot 2 = 4 \]

Vậy cặp số \( (a, b) \) là \( (4, 10) \) hoặc \( (10, 4) \).

3. **Nếu \(d = 11\):**
\[ 11 (m \cdot n + 1) = 22 \]
\[ m \cdot n + 1 = 2 \]
\[ m \cdot n = 1 \]

Các cặp số \( (m, n) \) thỏa mãn \( m \cdot n = 1 \) và \( \text{ƯCLN}(m, n) = 1 \) là:
\[ (m, n) = (1, 1) \]

Khi đó:
\[ a = d \cdot m = 11 \cdot 1 = 11 \]
\[ b = d \cdot n = 11 \cdot 1 = 11 \]

Vậy cặp số \( (a, b) \) là \( (11, 11) \).

4. **Nếu \(d = 22\):**
\[ 22 (m \cdot n + 1) = 22 \]
\[ m \cdot n + 1 = 1 \]
\[ m \cdot n = 0 \]

Điều này không thể xảy ra vì \(m\) và \(n\) phải là các số tự nhiên khác 0.

Tóm lại, các cặp số \( (a, b) \) thỏa mãn điều kiện là:
\[ (3, 7), (7, 3), (4, 10), (10, 4), (11, 11) \]