Để chứng minh \( m \parallel n \) và tính số đo các góc \( \widehat{A_1}, \widehat{A_2}, \widehat{C_1} \), ta làm như sau:

a) Chứng minh \( m \parallel n \):

- Xét hai đường thẳng \( m \) và \( n \) cắt bởi đường thẳng \( a \).
- Góc \( \widehat{B} = 72^\circ \) và góc \( \widehat{A_2} = 66^\circ \) là hai góc trong cùng phía.
- Tổng của hai góc này là \( 72^\circ + 66^\circ = 138^\circ \).
- Vì tổng của hai góc trong cùng phía không bằng \( 180^\circ \), nên \( m \parallel n \).

b) Tính số đo các góc \( \widehat{A_1}, \widehat{A_2}, \widehat{C_1} \):

- Góc \( \widehat{A_2} = 66^\circ \) (đã cho trong đề bài).
- Góc \( \widehat{B} = 72^\circ \) (đã cho trong đề bài).
- Góc \( \widehat{C_1} \) là góc kề bù với góc \( \widehat{B} \), nên \( \widehat{C_1} = 180^\circ - 72^\circ = 108^\circ \).
- Góc \( \widehat{A_1} \) là góc đối đỉnh với góc \( \widehat{A_2} \), nên \( \widehat{A_1} = 66^\circ \).

Vậy:
- \( \widehat{A_1} = 66^\circ \)
- \( \widehat{A_2} = 66^\circ \)
- \( \widehat{C_1} = 108^\circ \)