Để chứng minh rằng các biểu thức \(A = x^2 + 8x + 19\) và \(B = 4x^2 - 4x + 2\) có giá trị dương với mọi \(x\), chúng ta sẽ kiểm tra các biểu thức này bằng cách hoàn thành bình phương và phân tích các hệ số của chúng.

### Biểu thức A: \(A = x^2 + 8x + 19\)

1. **Hoàn thành bình phương:**

\[
A = x^2 + 8x + 19
\]

Để hoàn thành bình phương, ta thêm và bớt \(\left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16\):

\[
A = x^2 + 8x + 16 + 3 = (x + 4)^2 + 3
\]

2. **Phân tích:**

\[
A = (x + 4)^2 + 3
\]

Trong biểu thức này, \((x + 4)^2\) luôn không âm (vì bình phương của một số luôn không âm) và giá trị nhỏ nhất của nó là 0 khi \(x = -4\). Do đó, \(A\) luôn lớn hơn hoặc bằng 3:

\[
A \geq 3
\]

Vì vậy, \(A\) luôn có giá trị dương với mọi \(x\).

### Biểu thức B: \(B = 4x^2 - 4x + 2\)

1. **Hoàn thành bình phương:**

\[
B = 4x^2 - 4x + 2
\]

Để hoàn thành bình phương, ta thêm và bớt \(\left(\frac{-4}{2 \cdot 2}\right)^2 = \left(\frac{-1}{1}\right)^2 = 1\):

\[
B = 4(x^2 - x + \frac{1}{4}) + 2 - 1 = 4\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 1
\]

2. **Phân tích:**

\[
B = 4\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + 1
\]

Trong biểu thức này, \(4\left(x - \frac{1}{2}\right)^2\) luôn không âm và giá trị nhỏ nhất của nó là 0 khi \(x = \frac{1}{2}\). Do đó, \(B\) luôn lớn hơn hoặc bằng 1:

\[
B \geq 1
\]

Vì vậy, \(B\) luôn có giá trị dương với mọi \(x\).

### Kết luận:

Cả hai biểu thức \(A = x^2 + 8x + 19\) và \(B = 4x^2 - 4x + 2\) đều có giá trị dương với mọi \(x\).