Để giải bất phương trình \( \frac{2x(3x-5)}{x^2 + 1} < 0 \), ta cần xét dấu của tử số và mẫu số.

1. **Xét dấu của tử số:**
\[ 2x(3x - 5) \]
- \( 2x \) có dấu phụ thuộc vào \( x \):
- \( 2x > 0 \) khi \( x > 0 \)
- \( 2x < 0 \) khi \( x < 0 \)
- \( 3x - 5 \) có dấu phụ thuộc vào \( x \):
- \( 3x - 5 > 0 \) khi \( x > \frac{5}{3} \)
- \( 3x - 5 < 0 \) khi \( x < \frac{5}{3} \)

Kết hợp lại, ta có bảng xét dấu của tử số:
- \( x < 0 \): \( 2x < 0 \) và \( 3x - 5 < 0 \) => \( 2x(3x - 5) > 0 \)
- \( 0 < x < \frac{5}{3} \): \( 2x > 0 \) và \( 3x - 5 < 0 \) => \( 2x(3x - 5) < 0 \)
- \( x > \frac{5}{3} \): \( 2x > 0 \) và \( 3x - 5 > 0 \) => \( 2x(3x - 5) > 0 \)

2. **Xét dấu của mẫu số:**
\[ x^2 + 1 \]
- \( x^2 + 1 > 0 \) với mọi \( x \) vì \( x^2 \geq 0 \) và \( x^2 + 1 \geq 1 \)

3. **Kết hợp dấu của tử số và mẫu số:**
- \( x < 0 \): \( \frac{2x(3x - 5)}{x^2 + 1} > 0 \)
- \( 0 < x < \frac{5}{3} \): \( \frac{2x(3x - 5)}{x^2 + 1} < 0 \)
- \( x > \frac{5}{3} \): \( \frac{2x(3x - 5)}{x^2 + 1} > 0 \)

4. **Kết luận:**
Bất phương trình \( \frac{2x(3x - 5)}{x^2 + 1} < 0 \) có nghiệm là:
\[ 0 < x < \frac{5}{3} \]

Vậy nghiệm của bất phương trình là \( 0 < x < \frac{5}{3} \).