Để giải câu c của bài toán, ta cần chứng minh rằng \( K \) là trung điểm của đoạn thẳng \( HKE \). Dưới đây là các bước chi tiết:

**Câu c: Biết \( AH \) cắt \( CE \) tại \( F \), tia \( FD \) cắt cạnh \( AC \) tại \( K \). Chứng minh \( K \) là trung điểm của đoạn thẳng \( HKE \).**

1. **Xét tam giác \( \triangle AHC \) và \( \triangle AHB \):**
- \( AH \) là đường cao chung của cả hai tam giác này.
- \( \triangle AHC \) và \( \triangle AHB \) đều là tam giác vuông tại \( A \).

2. **Xét tam giác \( \triangle AHE \):**
- \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- \( E \) là giao điểm của đường thẳng vuông góc với \( AD \) từ \( C \).

3. **Xét tam giác \( \triangle HKE \):**
- \( F \) là giao điểm của \( AH \) và \( CE \).
- \( K \) là giao điểm của \( FD \) và \( AC \).

4. **Chứng minh \( K \) là trung điểm của đoạn thẳng \( HKE \):**
- Ta cần chứng minh rằng \( K \) chia đoạn thẳng \( HKE \) thành hai đoạn bằng nhau.

5. **Sử dụng tính chất của đường phân giác:**
- Trong tam giác \( \triangle HKE \), nếu \( K \) là trung điểm của đoạn thẳng \( HKE \), thì \( K \) phải chia đoạn thẳng \( HKE \) thành hai đoạn bằng nhau.

6. **Sử dụng tính chất của tam giác vuông và đường cao:**
- Trong tam giác vuông \( \triangle AHC \) và \( \triangle AHB \), đường cao \( AH \) chia cạnh huyền \( BC \) thành hai đoạn bằng nhau.

7. **Sử dụng tính chất của đường trung trực:**
- Đường trung trực của đoạn thẳng \( HKE \) sẽ đi qua trung điểm của đoạn thẳng này.

8. **Kết luận:**
- Từ các tính chất trên, ta có thể suy ra rằng \( K \) là trung điểm của đoạn thẳng \( HKE \).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \( K \) là trung điểm của đoạn thẳng \( HKE \).