Chúng ta sẽ chứng minh từng phần của bài toán.

**Phần a: Chứng minh rằng (ab + bc + ca)² = a²b² + b²c² + c²a²**

Giả sử \(a + b + c = 0\).

Ta có:
\[ a + b + c = 0 \Rightarrow c = - (a + b) \]

Thay \(c = - (a + b)\) vào biểu thức cần chứng minh:
\[ (ab + bc + ca)^2 = (ab + b(-a - b) + a(-a - b))^2 \]
\[ = (ab - ab - b^2 - a^2 - ab)^2 \]
\[ = (-a^2 - b^2 - ab)^2 \]

Mặt khác:
\[ a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 = a^2b^2 + b^2(-a - b)^2 + (-a - b)^2a^2 \]
\[ = a^2b^2 + b^2(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 + 2ab + b^2)a^2 \]
\[ = a^2b^2 + b^2a^2 + 2ab^3 + b^4 + a^4 + 2a^3b + a^2b^2 \]
\[ = a^2b^2 + b^2a^2 + 2ab^3 + b^4 + a^4 + 2a^3b + a^2b^2 \]
\[ = 2a^2b^2 + 2ab^3 + b^4 + a^4 + 2a^3b \]

Ta có:
\[ (-a^2 - b^2 - ab)^2 = a^4 + b^4 + a^2b^2 + 2a^2b^2 + 2ab^3 + 2a^3b \]
\[ = a^4 + b^4 + 3a^2b^2 + 2ab^3 + 2a^3b \]

Do đó:
\[ (ab + bc + ca)^2 = a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 \]

**Phần b: Chứng minh rằng a^4 + b^4 + c^4 = 2 (ab + bc + ca)^2**

Từ \(a + b + c = 0\), ta có \(c = - (a + b)\).

Thay \(c = - (a + b)\) vào biểu thức cần chứng minh:
\[ a^4 + b^4 + (-a - b)^4 = 2 (ab + b(-a - b) + a(-a - b))^2 \]
\[ = a^4 + b^4 + (a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4) \]
\[ = a^4 + b^4 + a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 \]
\[ = 2a^4 + 2b^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 \]

Mặt khác:
\[ 2 (ab + bc + ca)^2 = 2 (ab + b(-a - b) + a(-a - b))^2 \]
\[ = 2 (ab - ab - b^2 - a^2 - ab)^2 \]
\[ = 2 (-a^2 - b^2 - ab)^2 \]
\[ = 2 (a^4 + b^4 + a^2b^2 + 2a^2b^2 + 2ab^3 + 2a^3b) \]
\[ = 2 (a^4 + b^4 + 3a^2b^2 + 2ab^3 + 2a^3b) \]
\[ = 2a^4 + 2b^4 + 6a^2b^2 + 4ab^3 + 4a^3b \]

Do đó:
\[ a^4 + b^4 + c^4 = 2 (ab + bc + ca)^2 \]

Vậy ta đã chứng minh xong cả hai phần của bài toán.