Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện các bước như sau:

### a) Tính độ dài AD

Hình thang vuông ABCD có góc A và góc D đều bằng 90 độ. Do đó, AD là đường cao của hình thang từ đỉnh A xuống đáy CD.

Xét tam giác vuông ABD:
- AB = 4 cm (cạnh góc vuông)
- CD = 9 cm (đáy lớn của hình thang)

Ta cần tính độ dài AD. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABD.

Theo định lý Pythagoras:
\[ AD^2 + AB^2 = BD^2 \]

Ta có:
- AB = 4 cm
- BD = CD - AB = 9 cm - 4 cm = 5 cm

Thay vào công thức:
\[ AD^2 + 4^2 = 5^2 \]
\[ AD^2 + 16 = 25 \]
\[ AD^2 = 25 - 16 \]
\[ AD^2 = 9 \]
\[ AD = \sqrt{9} \]
\[ AD = 3 \text{ cm} \]

Vậy, độ dài AD là 3 cm.

### b) Chứng minh rằng đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC

Để chứng minh đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC, ta cần chứng minh rằng AD là tiếp tuyến của đường tròn này tại điểm A.

Đường tròn có đường kính BC có tâm là trung điểm của BC. Gọi trung điểm của BC là O.

Ta có:
- BC = 13 cm
- O là trung điểm của BC, do đó BO = OC = \(\frac{13}{2}\) = 6.5 cm

Đường tròn có bán kính là 6.5 cm.

Xét tam giác vuông ABD:
- AB vuông góc với AD tại A
- AD là đường cao từ A xuống đáy CD

Do đó, AD vuông góc với BC tại điểm A.

Trong hình học, nếu một đường thẳng vuông góc với bán kính của một đường tròn tại điểm tiếp xúc, thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm tiếp xúc.

Vì AD vuông góc với BC tại điểm A và BC là đường kính của đường tròn, nên AD là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm A.

Vậy, đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính BC.