Gọi số chi tiết máy mà tổ I sản xuất được trong tháng đầu là \( x \), và số chi tiết máy mà tổ II sản xuất được trong tháng đầu là \( y \).

Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
\[ x + y = 300 \]

Sang tháng thứ hai, tổ I sản xuất vượt mức 25%, tức là sản xuất được \( x + 0.25x = 1.25x \) chi tiết máy.
Tổ II sản xuất vượt mức 20%, tức là sản xuất được \( y + 0.2y = 1.2y \) chi tiết máy.

Tổng số chi tiết máy mà cả hai tổ sản xuất được trong tháng thứ hai là:
\[ 1.25x + 1.2y = 370 \]

Ta có hệ phương trình:
\[ \begin{cases}
x + y = 300 \\
1.25x + 1.2y = 370
\end{cases} \]

Giải hệ phương trình này, ta làm như sau:

Từ phương trình thứ nhất, ta có:
\[ y = 300 - x \]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[ 1.25x + 1.2(300 - x) = 370 \]
\[ 1.25x + 360 - 1.2x = 370 \]
\[ 0.05x + 360 = 370 \]
\[ 0.05x = 10 \]
\[ x = 200 \]

Thay \( x = 200 \) vào phương trình \( y = 300 - x \):
\[ y = 300 - 200 \]
\[ y = 100 \]

Vậy trong tháng đầu, tổ I sản xuất được 200 chi tiết máy và tổ II sản xuất được 100 chi tiết máy.