Để chứng minh biểu thức sau nhỏ hơn 2023:

\[ \frac{1 \cdot 3 + 2}{2^2} + \frac{2 \cdot 4 + 2}{3^2} + \frac{3 \cdot 5 + 2}{4^2} + \ldots + \frac{2021 \cdot 2023 + 2}{2022^2} + \frac{2022 \cdot 2024 + 2}{2023^2} < 2023 \]

Chúng ta sẽ phân tích từng phân số trong biểu thức này.

Xét phân số tổng quát:

\[ \frac{n(n+2) + 2}{(n+1)^2} \]

Ta có:

\[ n(n+2) + 2 = n^2 + 2n + 2 \]

Do đó:

\[ \frac{n^2 + 2n + 2}{(n+1)^2} \]

Ta có thể viết lại như sau:

\[ \frac{n^2 + 2n + 2}{n^2 + 2n + 1} = 1 + \frac{1}{n^2 + 2n + 1} \]

Vì \( \frac{1}{n^2 + 2n + 1} \) là một số dương nhỏ hơn 1, nên:

\[ \frac{n^2 + 2n + 2}{(n+1)^2} < 1 + 1 = 2 \]

Do đó, mỗi phân số trong biểu thức ban đầu đều nhỏ hơn 2. Tổng của 2022 phân số này sẽ nhỏ hơn:

\[ 2022 \cdot 2 = 4044 \]

Vì vậy, ta có:

\[ \frac{1 \cdot 3 + 2}{2^2} + \frac{2 \cdot 4 + 2}{3^2} + \frac{3 \cdot 5 + 2}{4^2} + \ldots + \frac{2021 \cdot 2023 + 2}{2022^2} + \frac{2022 \cdot 2024 + 2}{2023^2} < 4044 \]

Rõ ràng, 4044 lớn hơn 2023, do đó:

\[ \frac{1 \cdot 3 + 2}{2^2} + \frac{2 \cdot 4 + 2}{3^2} + \frac{3 \cdot 5 + 2}{4^2} + \ldots + \frac{2021 \cdot 2023 + 2}{2022^2} + \frac{2022 \cdot 2024 + 2}{2023^2} < 2023 \]

Vậy ta đã chứng minh được biểu thức ban đầu nhỏ hơn 2023.