Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài (O), từ M kẻ tiếp tuyến MA với (O)

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Phần a: Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của (O)

1. **Gọi \( O \) là tâm của đường tròn (O) và \( R \) là bán kính của đường tròn.**
2. **Gọi \( A \) là tiếp điểm của tiếp tuyến \( MA \).**
3. **Vì \( MA \) là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại \( A \), nên \( OA \perp MA \).**
4. **Đường thẳng qua \( A \) và vuông góc với \( MO \) cắt đường tròn tại \( B \) (khác \( A \)).**
5. **Ta có \( OA \perp MA \) và \( OA \perp MB \) (vì \( MB \) là đường thẳng qua \( A \) và vuông góc với \( MO \)).**
6. **Vì \( OA \) vuông góc với cả \( MA \) và \( MB \), nên \( MB \) là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại \( B \).**

### Phần b: Tính \( OM \) và diện tích phần của tam giác \( AMB \) nằm bên ngoài (O)

1. **Gọi \( R = 3 \) cm là bán kính của đường tròn (O).**
2. **Góc \( MAB = 60^\circ \).**
3. **Tam giác \( OMA \) vuông tại \( A \) (vì \( OA \perp MA \)).**
4. **Sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( OMA \):**
\[
OM^2 = OA^2 + MA^2
\]
\[
OM^2 = R^2 + MA^2
\]
\[
OM^2 = 3^2 + MA^2
\]
5. **Vì \( MAB = 60^\circ \), tam giác \( MAB \) là tam giác đều (vì \( MA = MB \) và \( MAB = 60^\circ \)).**
6. **Do đó, \( MA = MB = R \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} \) cm.**
7. **Suy ra:**
\[
OM^2 = 3^2 + (3 \sqrt{3})^2
\]
\[
OM^2 = 9 + 27
\]
\[
OM^2 = 36
\]
\[
OM = 6 \text{ cm}
\]

8. **Diện tích tam giác \( AMB \):**
\[
S_{AMB} = \frac{1}{2} \times MA \times MB \times \sin(60^\circ)
\]
\[
S_{AMB} = \frac{1}{2} \times 3 \sqrt{3} \times 3 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
S_{AMB} = \frac{1}{2} \times 9 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
S_{AMB} = \frac{27 \sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2
\]

9. **Diện tích phần của tam giác \( AMB \) nằm bên ngoài (O):**
\[
S_{\text{ngoài}} = S_{AMB} - S_{\text{trong}}
\]
**Diện tích phần của tam giác \( AMB \) nằm bên trong (O) là diện tích của tam giác vuông \( OMA \):**
\[
S_{OMA} = \frac{1}{2} \times OA \times MA
\]
\[
S_{OMA} = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \sqrt{3}
\]
\[
S_{OMA} = \frac{9 \sqrt{3}}{2} \text{ cm}^2
\]

**Do đó:**
\[
S_{\text{ngoài}} = \frac{27 \sqrt{3}}{4} - \frac{9 \sqrt{3}}{2}
\]
\[
S_{\text{ngoài}} = \frac{27 \sqrt{3}}{4} - \frac{18 \sqrt{3}}{4}
\]
\[
S_{\text{ngoài}} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2
\]

Vậy \( OM = 6 \) cm và diện tích phần của tam giác \( AMB \) nằm bên ngoài (O) là \( \frac{9 \sqrt{3}}{4} \) cm².