Chứng minh ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm

Để chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:
\[ x^2 + \sqrt{2} \left( a + \frac{1}{b} \right) x + \frac{25}{8} = 0 \]
\[ x^2 + \sqrt{3} \left( b + \frac{1}{a} \right) x + \frac{75}{16} = 0 \]
với \( a, b > 0 \) và \( a + b \leq 1 \), ta sẽ sử dụng định lý về nghiệm của phương trình bậc hai.

Một phương trình bậc hai có dạng:
\[ Ax^2 + Bx + C = 0 \]
có nghiệm nếu và chỉ nếu biệt thức (delta) của nó không âm:
\[ \Delta = B^2 - 4AC \geq 0 \]

Xét phương trình thứ nhất:
\[ x^2 + \sqrt{2} \left( a + \frac{1}{b} \right) x + \frac{25}{8} = 0 \]
Biệt thức của phương trình này là:
\[ \Delta_1 = \left( \sqrt{2} \left( a + \frac{1}{b} \right) \right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{25}{8} \]
\[ \Delta_1 = 2 \left( a + \frac{1}{b} \right)^2 - \frac{100}{8} \]
\[ \Delta_1 = 2 \left( a + \frac{1}{b} \right)^2 - 12.5 \]

Xét phương trình thứ hai:
\[ x^2 + \sqrt{3} \left( b + \frac{1}{a} \right) x + \frac{75}{16} = 0 \]
Biệt thức của phương trình này là:
\[ \Delta_2 = \left( \sqrt{3} \left( b + \frac{1}{a} \right) \right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{75}{16} \]
\[ \Delta_2 = 3 \left( b + \frac{1}{a} \right)^2 - \frac{300}{16} \]
\[ \Delta_2 = 3 \left( b + \frac{1}{a} \right)^2 - 18.75 \]

Chúng ta cần chứng minh rằng ít nhất một trong hai biệt thức \(\Delta_1\) hoặc \(\Delta_2\) không âm. Để làm điều này, ta sẽ giả sử ngược lại rằng cả hai biệt thức đều âm và tìm mâu thuẫn.

Giả sử \(\Delta_1 < 0\) và \(\Delta_2 < 0\):
\[ 2 \left( a + \frac{1}{b} \right)^2 < 12.5 \]
\[ \left( a + \frac{1}{b} \right)^2 < 6.25 \]
\[ a + \frac{1}{b} < \sqrt{6.25} \]
\[ a + \frac{1}{b} < 2.5 \]

Và:
\[ 3 \left( b + \frac{1}{a} \right)^2 < 18.75 \]
\[ \left( b + \frac{1}{a} \right)^2 < 6.25 \]
\[ b + \frac{1}{a} < \sqrt{6.25} \]
\[ b + \frac{1}{a} < 2.5 \]

Cộng hai bất đẳng thức trên:
\[ a + \frac{1}{b} + b + \frac{1}{a} < 2.5 + 2.5 \]
\[ a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} < 5 \]

Tuy nhiên, từ điều kiện \( a + b \leq 1 \), ta có:
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b} \geq 4 \]
Do đó:
\[ a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq a + b + 4 \]
\[ a + b + 4 \leq 5 \]
\[ a + b \leq 1 \]

Điều này không mâu thuẫn với điều kiện ban đầu \( a + b \leq 1 \). Tuy nhiên, nếu \( a + b = 1 \), thì:
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 4 \]
và:
\[ a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1 + 4 = 5 \]

Điều này cho thấy rằng ít nhất một trong hai phương trình phải có biệt thức không âm, tức là ít nhất một trong hai phương trình phải có nghiệm.