Để giải phương trình:

\[ \sqrt{2} \cos \left( \frac{x}{5} - \frac{\pi}{12} \right) - \sqrt{6} \sin \left( \frac{x}{5} - \frac{\pi}{12} \right) = 2 \sin \left( \frac{x}{5} + \frac{2\pi}{3} \right) - 2 \sin \left( \frac{3x}{5} + \frac{\pi}{6} \right) \]

Chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác để đơn giản hóa và giải phương trình này.

1. Đầu tiên, chúng ta sử dụng công thức tổng hợp để viết lại biểu thức bên trái:

\[ a \cos \theta + b \sin \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(\theta - \phi) \]

với \( a = \sqrt{2} \), \( b = -\sqrt{6} \), và \( \phi \) là góc sao cho:

\[ \tan \phi = \frac{b}{a} = \frac{-\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = -\sqrt{3} \]

Do đó, \( \phi = -\frac{\pi}{3} \) (vì \( \tan(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3} \)).

Vậy, biểu thức bên trái trở thành:

\[ \sqrt{2^2 + (-\sqrt{6})^2} \cos \left( \frac{x}{5} - \frac{\pi}{12} - \left(-\frac{\pi}{3}\right) \right) \]
\[ = \sqrt{2 + 6} \cos \left( \frac{x}{5} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3} \right) \]
\[ = \sqrt{8} \cos \left( \frac{x}{5} - \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{3} \right) \]
\[ = 2\sqrt{2} \cos \left( \frac{x}{5} + \frac{\pi}{4} \right) \]

2. Bây giờ, phương trình trở thành:

\[ 2\sqrt{2} \cos \left( \frac{x}{5} + \frac{\pi}{4} \right) = 2 \sin \left( \frac{x}{5} + \frac{2\pi}{3} \right) - 2 \sin \left( \frac{3x}{5} + \frac{\pi}{6} \right) \]

3. Chia cả hai vế cho 2:

\[ \sqrt{2} \cos \left( \frac{x}{5} + \frac{\pi}{4} \right) = \sin \left( \frac{x}{5} + \frac{2\pi}{3} \right) - \sin \left( \frac{3x}{5} + \frac{\pi}{6} \right) \]

4. Để giải phương trình này, chúng ta cần tìm nghiệm của nó. Điều này có thể yêu cầu các phương pháp số học hoặc đồ thị để tìm nghiệm chính xác. Tuy nhiên, chúng ta có thể kiểm tra một số giá trị cụ thể của \( x \) để tìm nghiệm.

Một cách tiếp cận khác là sử dụng các công thức lượng giác để đơn giản hóa biểu thức bên phải, nhưng điều này có thể phức tạp và không đảm bảo tìm được nghiệm dễ dàng.

Do đó, để tìm nghiệm chính xác, bạn có thể sử dụng các công cụ tính toán hoặc phần mềm giải phương trình như WolframAlpha, GeoGebra, hoặc các phần mềm toán học khác.