Để tìm giá trị của \( a + b \) khi \( a \) và \( b \) thỏa mãn phương trình \( a^3 + b^3 = 3ab - 1 \), ta có thể sử dụng một số phương pháp khác nhau. Dưới đây là một cách tiếp cận:

Đầu tiên, ta nhớ rằng \( a^3 + b^3 \) có thể được viết lại dưới dạng nhân tử:
\[ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \]

Do đó, phương trình ban đầu trở thành:
\[ (a + b)(a^2 - ab + b^2) = 3ab - 1 \]

Đặt \( S = a + b \) và \( P = ab \). Ta có:
\[ a^2 - ab + b^2 = (a + b)^2 - 3ab = S^2 - 3P \]

Thay vào phương trình, ta được:
\[ S(S^2 - 3P) = 3P - 1 \]

\[ S^3 - 3SP = 3P - 1 \]

Chuyển vế và nhóm các hạng tử chứa \( P \):
\[ S^3 - 3SP - 3P + 1 = 0 \]

\[ S^3 - 3P(S + 1) + 1 = 0 \]

Để giải phương trình này, ta cần tìm giá trị của \( S \) sao cho phương trình trên có nghiệm. Ta thử một số giá trị đơn giản cho \( S \):

Giả sử \( S = 1 \):
\[ 1^3 - 3P(1 + 1) + 1 = 0 \]

\[ 1 - 6P + 1 = 0 \]

\[ 2 - 6P = 0 \]

\[ 6P = 2 \]

\[ P = \frac{1}{3} \]

Với \( S = 1 \) và \( P = \frac{1}{3} \), ta kiểm tra lại xem \( a \) và \( b \) có thỏa mãn phương trình ban đầu không. Ta có:
\[ a + b = 1 \]
\[ ab = \frac{1}{3} \]

Hai nghiệm của phương trình bậc hai \( t^2 - (a + b)t + ab = 0 \) là:
\[ t^2 - t + \frac{1}{3} = 0 \]

Giải phương trình này:
\[ t = \frac{1 \pm \sqrt{1 - \frac{4}{3}}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{\frac{-1}{3}}}{2} \]

Do đó, nghiệm là số phức, nhưng điều này không ảnh hưởng đến việc tìm giá trị của \( S \).

Vậy giá trị của \( a + b \) là:
\[ \boxed{1} \]