Dưới đây là các phương trình đường thẳng thoả mãn các yêu cầu trong đề bài:

a) Có hệ số góc bằng 2 và đi qua M(1; -3):
Phương trình đường thẳng có dạng: \( y = 2x + b \)
Thay tọa độ điểm M(1; -3) vào phương trình:
\[ -3 = 2 \cdot 1 + b \]
\[ -3 = 2 + b \]
\[ b = -5 \]
Vậy phương trình đường thẳng là: \( y = 2x - 5 \)

b) Có hệ số góc bằng -3 và phụ thuộc gốc bằng 1:
Phương trình đường thẳng có dạng: \( y = -3x + 1 \)

c) Đi qua M(-5; 3) và // đường thẳng y = 2x - 7:
Phương trình đường thẳng song song với y = 2x - 7 có dạng: \( y = 2x + b \)
Thay tọa độ điểm M(-5; 3) vào phương trình:
\[ 3 = 2 \cdot (-5) + b \]
\[ 3 = -10 + b \]
\[ b = 13 \]
Vậy phương trình đường thẳng là: \( y = 2x + 13 \)

d) Đi qua N(1; 4) và ⊥ đường thẳng y = \(\frac{1}{3}x + 2\):
Phương trình đường thẳng vuông góc với y = \(\frac{1}{3}x + 2\) có hệ số góc là nghịch đảo âm của \(\frac{1}{3}\), tức là -3. Phương trình có dạng: \( y = -3x + b \)
Thay tọa độ điểm N(1; 4) vào phương trình:
\[ 4 = -3 \cdot 1 + b \]
\[ 4 = -3 + b \]
\[ b = 7 \]
Vậy phương trình đường thẳng là: \( y = -3x + 7 \)

e) Đi qua 2 điểm A(1; 5) và B(-2; -7):
Hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm A và B là:
\[ m = \frac{-7 - 5}{-2 - 1} = \frac{-12}{-3} = 4 \]
Phương trình đường thẳng có dạng: \( y = 4x + b \)
Thay tọa độ điểm A(1; 5) vào phương trình:
\[ 5 = 4 \cdot 1 + b \]
\[ 5 = 4 + b \]
\[ b = 1 \]
Vậy phương trình đường thẳng là: \( y = 4x + 1 \)