Để xác định hệ số \(a\) và \(b\) của phương trình đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A(x_1, y_1)\) và \(B(x_2, y_2)\), ta cần giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
y_1 = ax_1 + b \\
y_2 = ax_2 + b
\end{cases}
\]

Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp này cho từng trường hợp cụ thể:

### Trường hợp a) A(2, 3) và B(5, 4)

1. Viết hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
3 = 2a + b \\
4 = 5a + b
\end{cases}
\]

2. Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai:
\[
(4 = 5a + b) - (3 = 2a + b) \implies 1 = 3a \implies a = \frac{1}{3}
\]

3. Thay \(a = \frac{1}{3}\) vào phương trình đầu tiên:
\[
3 = 2 \cdot \frac{1}{3} + b \implies 3 = \frac{2}{3} + b \implies b = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}
\]

Vậy, \(a = \frac{1}{3}\) và \(b = \frac{7}{3}\).

### Trường hợp b) A(1, 2) và B(3, 8)

1. Viết hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
2 = a + b \\
8 = 3a + b
\end{cases}
\]

2. Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai:
\[
(8 = 3a + b) - (2 = a + b) \implies 6 = 2a \implies a = 3
\]

3. Thay \(a = 3\) vào phương trình đầu tiên:
\[
2 = 3 + b \implies b = 2 - 3 = -1
\]

Vậy, \(a = 3\) và \(b = -1\).

### Trường hợp c) A(2, 1) và B(4, -2)

1. Viết hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
1 = 2a + b \\
-2 = 4a + b
\end{cases}
\]

2. Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai:
\[
(-2 = 4a + b) - (1 = 2a + b) \implies -3 = 2a \implies a = -\frac{3}{2}
\]

3. Thay \(a = -\frac{3}{2}\) vào phương trình đầu tiên:
\[
1 = 2 \cdot -\frac{3}{2} + b \implies 1 = -3 + b \implies b = 1 + 3 = 4
\]

Vậy, \(a = -\frac{3}{2}\) và \(b = 4\).

### Trường hợp d) A(-2, -1) và B(4, 5)

1. Viết hệ phương trình:
\[
\begin{cases}
-1 = -2a + b \\
5 = 4a + b
\end{cases}
\]

2. Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai:
\[
(5 = 4a + b) - (-1 = -2a + b) \implies 6 = 6a \implies a = 1
\]

3. Thay \(a = 1\) vào phương trình đầu tiên:
\[
-1 = -2 \cdot 1 + b \implies -1 = -2 + b \implies b = -1 + 2 = 1
\]

Vậy, \(a = 1\) và \(b = 1\).

Tóm lại, các hệ số \(a\) và \(b\) cho từng trường hợp là:
- a) \(a = \frac{1}{3}\), \(b = \frac{7}{3}\)
- b) \(a = 3\), \(b = -1\)
- c) \(a = -\frac{3}{2}\), \(b = 4\)
- d) \(a = 1\), \(b = 1\)