Cho biểu thức Q, so sánh Q với 2023 * (2^2022)^10

Để so sánh \( Q \) với \( 2023 \cdot (2^{2022})^{10} \), trước hết ta cần phân tích biểu thức \( Q \).

Biểu thức \( Q \) được cho như sau:
\[ Q = 1 + \frac{1}{2}(1+2) + \frac{1}{3^2}(1+2+3)^2 + \ldots + \frac{1}{n^{n-1}}(1+2+3+\ldots+n)^{n-1} + \ldots + \frac{1}{2023^{2022}}(1+2+3+\ldots+2023)^{2021} \]

Ta biết rằng tổng của dãy số từ 1 đến \( k \) là:
\[ 1 + 2 + 3 + \ldots + k = \frac{k(k+1)}{2} \]

Áp dụng công thức này vào biểu thức \( Q \), ta có:
\[ Q = 1 + \frac{1}{2} \left( \frac{2(2+1)}{2} \right) + \frac{1}{3^2} \left( \frac{3(3+1)}{2} \right)^2 + \ldots + \frac{1}{n^{n-1}} \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^{n-1} + \ldots + \frac{1}{2023^{2022}} \left( \frac{2023(2023+1)}{2} \right)^{2021} \]

Để đơn giản hóa, ta xét các số hạng chính:
\[ \frac{1}{n^{n-1}} \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^{n-1} \]

Khi \( n \) lớn, \( \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^{n-1} \) sẽ tăng rất nhanh. Do đó, \( Q \) sẽ rất lớn.

Bây giờ, ta xét \( 2023 \cdot (2^{2022})^{10} \):
\[ 2023 \cdot (2^{2022})^{10} = 2023 \cdot 2^{20220} \]

So sánh \( Q \) với \( 2023 \cdot 2^{20220} \):
- \( Q \) là tổng của các số hạng có dạng \( \frac{1}{n^{n-1}} \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^{n-1} \), trong đó số hạng cuối cùng là \( \frac{1}{2023^{2022}} \left( \frac{2023(2023+1)}{2} \right)^{2021} \).

Vì \( \left( \frac{2023(2023+1)}{2} \right)^{2021} \) là một số rất lớn, lớn hơn nhiều so với \( 2^{20220} \), nên \( Q \) sẽ lớn hơn \( 2023 \cdot 2^{20220} \).

Kết luận: \( Q \) lớn hơn \( 2023 \cdot (2^{2022})^{10} \).