Bài 1. Cho hai biểu thức \( A = \frac{x-2}{x-1} \) và \( B = \frac{x}{x-1} - \frac{2x}{x^2-1} + \frac{1}{x+1} \) với \( x \neq 1 \); \( x \neq -1 \).

1. Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 2024 \).

Ta có:
\[ A = \frac{x-2}{x-1} \]

Thay \( x = 2024 \) vào biểu thức \( A \):
\[ A = \frac{2024-2}{2024-1} = \frac{2022}{2023} \]

2. Chứng minh rằng \( B = \frac{x-1}{x+1} \).

Ta có:
\[ B = \frac{x}{x-1} - \frac{2x}{x^2-1} + \frac{1}{x+1} \]

Ta biết rằng:
\[ x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \]

Do đó:
\[ \frac{2x}{x^2-1} = \frac{2x}{(x-1)(x+1)} \]

Biểu thức \( B \) trở thành:
\[ B = \frac{x}{x-1} - \frac{2x}{(x-1)(x+1)} + \frac{1}{x+1} \]

Ta quy đồng mẫu số:
\[ B = \frac{x(x+1) - 2x + (x-1)}{(x-1)(x+1)} \]

\[ B = \frac{x^2 + x - 2x + x - 1}{(x-1)(x+1)} \]

\[ B = \frac{x^2 - x - 1}{(x-1)(x+1)} \]

\[ B = \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)} \]

\[ B = \frac{x-1}{x+1} \]

3. Tìm \( x \) biết \( A \cdot B = \frac{2}{3} \).

Ta có:
\[ A \cdot B = \frac{x-2}{x-1} \cdot \frac{x-1}{x+1} = \frac{x-2}{x+1} \]

Theo đề bài:
\[ \frac{x-2}{x+1} = \frac{2}{3} \]

Giải phương trình:
\[ 3(x-2) = 2(x+1) \]

\[ 3x - 6 = 2x + 2 \]

\[ 3x - 2x = 2 + 6 \]

\[ x = 8 \]

Vậy \( x = 8 \).