Để tìm giá trị \( m \) không âm để hệ phương trình có nghiệm \((x, y)\) thỏa mãn \((x^2 + 1) + (y^2 + 1) = 12\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Giải hệ phương trình:**
\[
\begin{cases}
x + y = 3m + 2 \\
2x - 3y = m - 11
\end{cases}
\]

Từ phương trình thứ nhất, ta có:
\[
y = 3m + 2 - x
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
2x - 3(3m + 2 - x) = m - 11
\]
\[
2x - 9m - 6 + 3x = m - 11
\]
\[
5x - 9m - 6 = m - 11
\]
\[
5x = 10m - 5
\]
\[
x = 2m - 1
\]

Thay \( x = 2m - 1 \) vào phương trình \( y = 3m + 2 - x \):
\[
y = 3m + 2 - (2m - 1)
\]
\[
y = 3m + 2 - 2m + 1
\]
\[
y = m + 3
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
\[
(x, y) = (2m - 1, m + 3)
\]

2. **Thỏa mãn điều kiện:**
\[
(x^2 + 1) + (y^2 + 1) = 12
\]
\[
(2m - 1)^2 + 1 + (m + 3)^2 + 1 = 12
\]
\[
(4m^2 - 4m + 1) + 1 + (m^2 + 6m + 9) + 1 = 12
\]
\[
4m^2 - 4m + 1 + 1 + m^2 + 6m + 9 + 1 = 12
\]
\[
5m^2 + 2m + 12 = 12
\]
\[
5m^2 + 2m = 0
\]
\[
m(5m + 2) = 0
\]

Giải phương trình này, ta có:
\[
m = 0 \quad \text{hoặc} \quad 5m + 2 = 0 \Rightarrow m = -\frac{2}{5}
\]

Vì \( m \) không âm, nên \( m = 0 \).

Vậy giá trị \( m \) không âm để hệ phương trình có nghiệm \((x, y)\) thỏa mãn \((x^2 + 1) + (y^2 + 1) = 12\) là \( m = 0 \).